Determine se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes ou independentes. Justifique suas respostas.
\{(1,1,0,0),(0,1,1,0),(2,3,1,0)\} em \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

Temos o conjunto de vetores \{v_1,v_2,v_3\}\subset\mathbb{R}^4 com
v_1=(1,1,0,0),\quad v_2=(0,1,1,0),\quad v_3=(2,3,1,0).
O conteúdo é teste de dependência linear: verificamos se existe combinação não trivial
c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3 = 0.

Passo 2

Escrevemos a combinação
c_1(1,1,0,0) + c_2(0,1,1,0) + c_3(2,3,1,0) = (0,0,0,0)
e igualamos coordenada a coordenada:
1ª coordenada:
c_1 + 0\cdot c_2 + 2c_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad c_1 + 2c_3 = 0.
2ª coordenada:
c_1 + c_2 + 3c_3 = 0.
3ª coordenada:
0\cdot c_1 + c_2 + c_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad c_2 + c_3 = 0.
4ª coordenada é 0=0, sem informação nova.

Passo 3

Do sistema
\begin{cases} c_1 + 2c_3 = 0,\\\ c_1 + c_2 + 3c_3 = 0,\\\ c_2 + c_3 = 0, \end{cases}
da 3ª equação c_2 = -c_3. Substituindo em 1ª dá c_1 = -2c_3. A 2ª fica
(-2c_3) + (-c_3) + 3c_3 = 0,
que é 0=0. Logo c_3 é livre e há solução não trivial (por exemplo c_3=1 c_1=-2, c_2=-1). Isso mostra dependência linear.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes.

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