Determine se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes ou independentes. Justifique suas respostas. \{(1,1,0,0),(0,1,1,0),(2,3,1,0)\} em \mathbb{R}^{4}. Passo 1Temos o conjunto de vetores \{v_1,v_2,v_3\}\subset\mathbb{R}^4 com v_1=(1,1,0,0),\quad v_2=(0,1,1,0),\quad v_3=(2,3,1,0). O conteúdo é teste de dependência linear: verificamos se existe combinação não trivial c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3 = 0. Passo 2Escrevemos a combinação c_1(1,1,0,0) + c_2(0,1,1,0) + c_3(2,3,1,0) = (0,0,0,0) e igualamos coordenada a coordenada: 1ª coordenada: c_1 + 0\cdot c_2 + 2c_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad c_1 + 2c_3 = 0. 2ª coordenada: c_1 + c_2 + 3c_3 = 0. 3ª coordenada: 0\cdot c_1 + c_2 + c_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad c_2 + c_3 = 0. 4ª coordenada é 0=0, sem informação nova. Passo 3Do sistema \begin{cases} c_1 + 2c_3 = 0,\\\ c_1 + c_2 + 3c_3 = 0,\\\ c_2 + c_3 = 0, \end{cases} da 3ª equação c_2 = -c_3. Substituindo em 1ª dá c_1 = -2c_3. A 2ª fica (-2c_3) + (-c_3) + 3c_3 = 0, que é 0=0. Logo c_3 é livre e há solução não trivial (por exemplo c_3=1 dá c_1=-2, c_2=-1). Isso mostra dependência linear. RespostaOs vetores são linearmente dependentes. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDetermine se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes ou independentes. Justifique suas respostas. \{(1,2,3,4),(1,0,0,1),(0,0,1,0)\} \subset \mathbb{R}^{4}. Determine se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes ou independentes. Justifique suas respostas. \{(1,2,3,4),(2,4,0,8),(0,0,-6,0)\} \subset \mathbb{R}^{4}. Determine se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes ou independentes. Justifique suas respostas. \{(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1)\} em \mathbb{R}^{4}. Determine se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes ou independentes. Justifique suas respostas. \{(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1),(0, a, 0,1)\} em \mathbb{R}^{4}, onde a \neq-1.