Determine as seguintes derivadas:
(x^2 sin (2 x)e^x)^prime

Passo 1

O enunciado nos pede a derivada de
f(x) = x^2,sin(2x)e^x
O conteúdo das derivadas envolve as regras do produto, quociente e cadeia. Vamos reescrever f de modo a usar produto e cadeia, sem precisar aplicar diretamente a regra do quociente.

Passo 2

Reescrevemos
f(x) = x^2,sin(2x),e^-x
Assim temos o produto de duas funções:
g(x) = x^2sin(2x) e h(x) = e^-x

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
Para g(x), aplicamos produto e cadeia:
g'(x) = (x^2)',sin(2x) + x^2,(sin(2x))' = 2x,sin(2x) + x^2cos(2x)cdot2 = 2x,sin(2x) + 2x^2cos(2x)
Para h(x)=e^-x, pela regra da cadeia:
h'(x) = e^-xcdot(-1) = -e^-x

Passo 4

Pela regra do produto,
f'(x) = g'(x),h(x) + g(x),h'(x) = l(2xsin(2x) + 2x^2cos(2x)r)e^-x + x^2sin(2x),(-e^-x)
Fatorando e^-x e agrupando termos em sin(2x) e cos(2x),
f'(x) = e^-xl[(2xsin(2x) - x^2sin(2x)) + 2x^2cos(2x)r] = e^-xl[(2x - x^2)sin(2x) + 2x^2cos(2x)r]

Resposta

f'(x) = e^-xl[(2x - x^2)sin(2x) + 2x^2cos(2x)r]
Ou equivalentemente
f'(x) = (2x - x^2)sin(2x) + 2x^2cos(2x)e^x

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