Determine as seguintes derivadas
y=\frac{\ln t}{t}

Passo 1

O enunciado dá a função \;y=\dfrac{\ln t}{t}\; e pede que determinemos as derivadas (ou seja, a(s) derivada(s) de y).
Informações relevantes fornecidas: \ln t é o logaritmo natural; pela expressão \dfrac{\ln t}{t} sabemos que o domínio natural desta função é t>0 (pois \ln t está definido apenas para t>0). A tarefa é calcular a derivada primeira (e, como o enunciado usou o plural “derivadas”, também vou calcular a derivada segunda, que costuma ser pedido junto em exercícios).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar — explicadinhos, sem pular etapas:
  1. Derivada do logaritmo natural:
    A regra básica é
\frac{d}{dt}\big(\ln t\big)=\frac{1}{t},
válida para t>0. Aqui a variável independente é t; a fórmula diz que a taxa de variação de \ln t em relação a t é \dfrac{1}{t}.
  1. Regra do produto:
    Se temos duas funções u(t) e v(t), a derivada do produto é
\frac{d}{dt}\big(u(t)\,v(t)\big)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Explicando as letras: u'(t) significa a derivada de u em relação a t, e v'(t) a derivada de v em relação a t.
  1. Regra do quociente (alternativa):
    Se preferirmos trabalhar com divisão, a regra é
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{u(t)}{v(t)}\right)=\frac{u'(t)\,v(t)-u(t)\,v'(t)}{[v(t)]^{2}},
onde v(t)\neq 0. Ambas as regras (produto e quociente) dão o mesmo resultado; às vezes é mais simples reescrever \dfrac{\ln t}{t} como produto \ln t\cdot t^{-1} e usar a regra do produto.

Passo 3

Escolha do método: vou reescrever a função como produto para usar a regra do produto — costuma ser algébrica e conceitualmente mais simples do que aplicar diretamente o quociente. Escrevemos
y=(\ln t)\,t^{-1}.
Aqui definimos u(t)=\ln t e v(t)=t^{-1}. Vamos calcular u'(t) e v'(t) e aplicar a regra do produto.

Passo 4

Cálculo da derivada primeira passo a passo:
  1. Calcule u'(t): como visto,
u(t)=\ln t\quad\Rightarrow\quad u'(t)=\frac{1}{t}.
  1. Calcule v'(t): escrevendo v(t)=t^{-1},
v'(t) = -1\cdot t^{-2} = -t^{-2} = -\frac{1}{t^{2}}.
  1. Aplique a regra do produto:
y' = u'(t)\,v(t) + u(t)\,v'(t).
Substituindo:
y' = \frac{1}{t}\cdot t^{-1} + (\ln t)\cdot\big(-t^{-2}\big).
  1. Simplifique cada termo:
\frac{1}{t}\cdot t^{-1} = t^{-2}=\frac{1}{t^{2}}, \qquad (\ln t)\cdot\big(-t^{-2}\big) = -\frac{\ln t}{t^{2}}.
  1. Juntando os termos:
y' = \frac{1}{t^{2}} - \frac{\ln t}{t^{2}} = \frac{1-\ln t}{t^{2}}.
Observação sobre domínio: essa expressão é válida para t>0, mesmo denominador não se anulando pois t\neq 0 no domínio.

Passo 5

Cálculo da derivada segunda (opcional, mas útil):
  1. Reescrevemos a derivada primeira como produto para derivar mais fácil:
y'=(1-\ln t)\,t^{-2}.
Definimos a(t)=1-\ln t e b(t)=t^{-2}.
  1. Calculamos a'(t) e b'(t):
a'(t)= -\frac{1}{t} \quad(\text{pois } \frac{d}{dt}\ln t=\frac{1}{t}), \qquad b'(t) = -2t^{-3} = -\frac{2}{t^{3}}.
  1. Aplicamos a regra do produto para y''=(a\,b)':
y'' = a'(t)\,b(t) + a(t)\,b'(t).
Substituindo:
y'' = \Big(-\frac{1}{t}\Big)\,t^{-2} + (1-\ln t)\Big(-2t^{-3}\Big).
  1. Simplificamos termo a termo:
\Big(-\frac{1}{t}\Big)\,t^{-2} = -t^{-3} = -\frac{1}{t^{3}},
(1-\ln t)\Big(-2t^{-3}\Big) = -2(1-\ln t)\,t^{-3}.
  1. Somando:
y'' = \big(-1 -2(1-\ln t)\big)t^{-3}.
Distribuindo e simplificando:
-1 -2(1-\ln t) = -1 -2 +2\ln t = 2\ln t -3,
logo
y'' = \frac{2\ln t -3}{t^{3}}.
Novamente válido para t>0.

Resposta

\displaystyle y'=\frac{1-\ln t}{t^{2}}
\displaystyle y''=\frac{2\ln t-3}{t^{3}}

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