Determine as seguintes derivadas
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que determinemos as derivadas (ou seja, a(s) derivada(s) de
).
Informações relevantes fornecidas: é o logaritmo natural; pela expressão
sabemos que o domínio natural desta função é
(pois
está definido apenas para
). A tarefa é calcular a derivada primeira (e, como o enunciado usou o plural “derivadas”, também vou calcular a derivada segunda, que costuma ser pedido junto em exercícios).
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar — explicadinhos, sem pular etapas:
- Derivada do logaritmo natural:
A regra básica é
válida para
. Aqui a variável independente é
; a fórmula diz que a taxa de variação de
em relação a
é
.
- Regra do produto:
Se temos duas funçõese , a derivada do produto é
Explicando as letras:
significa a derivada de
em relação a
, e
a derivada de
em relação a
.
- Regra do quociente (alternativa):
Se preferirmos trabalhar com divisão, a regra é
onde
. Ambas as regras (produto e quociente) dão o mesmo resultado; às vezes é mais simples reescrever
como produto
e usar a regra do produto.
Passo 3
Escolha do método: vou reescrever a função como produto para usar a regra do produto — costuma ser algébrica e conceitualmente mais simples do que aplicar diretamente o quociente. Escrevemos
Aqui definimos
e
. Vamos calcular
e
e aplicar a regra do produto.
Passo 4
Cálculo da derivada primeira passo a passo:
- Calcule
: como visto,
- Calcule
: escrevendo ,
- Aplique a regra do produto:
Substituindo:
- Simplifique cada termo:
- Juntando os termos:
Observação sobre domínio: essa expressão é válida para
, mesmo denominador não se anulando pois
no domínio.
Passo 5
Cálculo da derivada segunda (opcional, mas útil):
- Reescrevemos a derivada primeira como produto para derivar mais fácil:
Definimos
e
.
- Calculamos
e :
- Aplicamos a regra do produto para
:
Substituindo:
- Simplificamos termo a termo:
- Somando:
Distribuindo e simplificando:
logo
Novamente válido para
.