Determine as seguintes derivadas
Passo 1
O enunciado dá a função
em função de
:
Pergunta: determinar a derivada de
em relação a
, isto é, encontrar
.
Informações relevantes fornecidas: a variável independente é e, como aparece
, o domínio natural dessa expressão é
.
Informações relevantes fornecidas: a variável independente é
Passo 2
Escolha do método: a expressão
é um produto de duas funções de
: uma é
e a outra é
. Para derivar um produto usamos a regra do produto. A regra do produto diz:
onde
e
. Aqui vou identificar explicitamente
e
e calcular
e
separadamente antes de aplicar a fórmula.
Passo 3
Derivada da primeira função
.
A derivada de em relação a
é
A derivada de
Explicação rápida: a função identidade
cresce a uma taxa constante 1; em notação, a taxa de variação de
por
é
.
Passo 4
Derivada da segunda função
.
Aqui usamos a regra da cadeia porque é uma composição de
com
:
. A regra da cadeia diz:
Aqui usamos a regra da cadeia porque
No nosso caso
tem
e
tem
. Aplicando:
Detalhe: escrevi passo a passo para você ver de onde vem cada fator.
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto com
,
,
e
:
Passo 6
Simplificação da expressão obtida:
Podemos fatorar
para uma forma mais compacta:
Passo 7
Observação final: essa derivada está válida para
(mesmo domínio onde
está definida). Se quiser, na prova você pode apresentar tanto
quanto
; ambas estão corretas e são equivalentes.