Determine as seguintes derivadas
y=t(\ln t)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função y em função de t:
y = t(\ln t)^{2}.
Pergunta: determinar a derivada de y em relação a t, isto é, encontrar \dfrac{dy}{dt}.
Informações relevantes fornecidas: a variável independente é t e, como aparece \ln t, o domínio natural dessa expressão é t>0.

Passo 2

Escolha do método: a expressão y=t(\ln t)^{2} é um produto de duas funções de t: uma é u(t)=t e a outra é v(t)=(\ln t)^{2}. Para derivar um produto usamos a regra do produto. A regra do produto diz:
(uv)' = u'v + uv',
onde u'=\dfrac{du}{dt} e v'=\dfrac{dv}{dt}. Aqui vou identificar explicitamente u e v e calcular u' e v' separadamente antes de aplicar a fórmula.

Passo 3

Derivada da primeira função u(t)=t.
A derivada de t em relação a t é
u'(t)=\frac{d}{dt}(t)=1.
Explicação rápida: a função identidade t cresce a uma taxa constante 1; em notação, a taxa de variação de t por t é 1.

Passo 4

Derivada da segunda função v(t)=(\ln t)^{2}.
Aqui usamos a regra da cadeia porque v é uma composição de f(x)=x^{2} com g(t)=\ln t: v(t)=f(g(t)). A regra da cadeia diz:
\frac{d}{dt}f(g(t)) = f'(g(t))\cdot g'(t).
No nosso caso f(x)=x^{2} tem f'(x)=2x e g(t)=\ln t tem g'(t)=\dfrac{1}{t}. Aplicando:
v'(t)=f'(g(t))\cdot g'(t)=2\big(g(t)\big)\cdot \frac{1}{t}=2\ln t\cdot\frac{1}{t}=\frac{2\ln t}{t}.
Detalhe: escrevi passo a passo para você ver de onde vem cada fator.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto com u'(t)=1, u(t)=t, v(t)=(\ln t)^{2} e v'(t)=\dfrac{2\ln t}{t}:
\frac{dy}{dt}=u'v+uv' = 1\cdot(\ln t)^{2} + t\cdot\frac{2\ln t}{t}.

Passo 6

Simplificação da expressão obtida:
\frac{dy}{dt}=(\ln t)^{2} + \cancel{t}\cdot\frac{2\ln t}{\cancel{t}}=(\ln t)^{2}+2\ln t.
Podemos fatorar \ln t para uma forma mais compacta:
\frac{dy}{dt}=\ln t\big(\ln t + 2\big).

Passo 7

Observação final: essa derivada está válida para t>0 (mesmo domínio onde \ln t está definida). Se quiser, na prova você pode apresentar tanto (\ln t)^{2}+2\ln t quanto \ln t(\ln t+2); ambas estão corretas e são equivalentes.

Resposta

\dfrac{dy}{dt}=(\ln t)^{2}+2\ln t

Exercícios relacionados