Determine quais das seguintes equações diferenciais de primeira ordem são separáveis. Dica: tente fatorar o lado direito se a equação não parecer inicialmente separável.
x^{\prime}=x^{2}+x+3

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
x^{\prime}=x^{2}+x+3,
e pede para determinar se ela é separável. Informação relevante extraída do enunciado:
  • A derivada x^{\prime} significa \dfrac{dx}{dt}.
  • O lado direito é a função x^{2}+x+3, que depende apenas de x (não aparece t explicitamente).
    A pergunta concreta: esta equação é separável? Se for, encontrar a solução (ou a forma que se obtém ao separar variáveis).

Passo 2

O que significa “ser separável”?
  • Uma equação de primeira ordem é separável quando pode ser escrita na forma
\frac{dx}{dt}=f(t)\,g(x),
ou seja, produto de uma função só de t por uma função só de x. Nesse caso separamos as variáveis e obtemos
\frac{1}{g(x)}\,dx = f(t)\,dt,
e então integramos ambos os lados.
  • Observação importante e prática: se o lado direito depende somente de x, isto é, \dfrac{dx}{dt}=G(x), então isso é especial caso separável com f(t)=1 e g(x)=G(x). Então qualquer equação autonoma \dfrac{dx}{dt}=G(x) é separável (salvo atenção a pontos singulares onde G(x)=0 ao separar).
    Aplicando isso à nossa equação: o lado direito é G(x)=x^{2}+x+3, que depende somente de x. Portanto a equação é separável.

Passo 3

Separe as variáveis explicitamente:
\frac{dx}{x^{2}+x+3}=dt.
Agora integramos ambos os lados. Vou explicar com calma como calcular a integral do lado esquerdo.

Passo 4

Calcular a integral \displaystyle\int\frac{dx}{x^{2}+x+3}.
  • Primeiro completar o quadrado no denominador:
x^{2}+x+3=\left(x+\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(3-\tfrac{1}{4}\right)=\left(x+\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\tfrac{11}{4}.
  • Faça a substituição u=x+\tfrac{1}{2}. Então du=dx e o denominador fica u^{2}+\tfrac{11}{4}.
  • Escrevendo \tfrac{11}{4}=(\tfrac{\sqrt{11}}{2})^{2}, a integral fica
\int\frac{dx}{x^{2}+x+3}=\int\frac{du}{u^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{11}}{2}\right)^{2}}.
  • Lembrando a fórmula básica (que vale para a>0):
\int\frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+C,
aplicamos com a=\tfrac{\sqrt{11}}{2}. Assim
\int\frac{dx}{x^{2}+x+3}=\frac{2}{\sqrt{11}}\arctan\!\left(\frac{u}{\tfrac{\sqrt{11}}{2}}\right)+C =\frac{2}{\sqrt{11}}\arctan\!\left(\frac{2x+1}{\sqrt{11}}\right)+C.

Passo 5

Integrando ambos os lados da separação \dfrac{dx}{x^{2}+x+3}=dt obtemos a relação implícita
\frac{2}{\sqrt{11}}\arctan\!\left(\frac{2x+1}{\sqrt{11}}\right)=t+C,
onde C é constante de integração. Esta é a forma implícita da solução. A partir dela é possível isolar x explicitamente aplicando a função tangente e resolvendo para x.

Passo 6

Isolando x (passos algébricos rápidos, sem detalhar de novo a integração):
  • Multiplica-se por \dfrac{\sqrt{11}}{2} e aplica-se \tan dos dois lados para obter
\frac{2x+1}{\sqrt{11}}=\tan\!\Big(\tfrac{\sqrt{11}}{2}(t+C)\Big).
  • Portanto
x(t)=\frac{\sqrt{11}}{2}\tan\!\Big(\tfrac{\sqrt{11}}{2}(t+C)\Big)-\tfrac{1}{2}.
Comentários e observações úteis para a prova (por que isso importa):
  • Não existem soluções constantes (equilíbrios) reais porque x^{2}+x+3=0 não tem raízes reais ( \Delta=1-12=-11<0). Logo não há x tal que x^{\prime}=0.
  • Como x^{2}+x+3>0 para todo x\in\mathbb{R}, tem-se x^{\prime}>0: soluções são estritamente crescentes.
  • A forma explícita com \tan mostra que soluções podem ter singularidades em tempo finito (quando o argumento da tangente atinge \pm\tfrac{\pi}{2}), informação que às vezes é relevante em questões sobre existência máxima em tempo.

Resposta

A equação é separável. A solução geral é x(t)=\frac{\sqrt{11}}{2}\tan\!\Big(\frac{\sqrt{11}}{2}(t+C)\Big)-\frac{1}{2},
onde C é constante de integração.

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