Determine quais das seguintes equações diferenciais de primeira ordem são separáveis. Dica: tente fatorar o lado direito se a equação não parecer inicialmente separável.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para determinar se ela é separável. Informação relevante extraída do enunciado:
- A derivada
significa . - O lado direito é a função
, que depende apenas de (não aparece explicitamente).
A pergunta concreta: esta equação é separável? Se for, encontrar a solução (ou a forma que se obtém ao separar variáveis).
Passo 2
O que significa “ser separável”?
- Uma equação de primeira ordem é separável quando pode ser escrita na forma
ou seja, produto de uma função só de
por uma função só de
. Nesse caso separamos as variáveis e obtemos
e então integramos ambos os lados.
- Observação importante e prática: se o lado direito depende somente de
, isto é, , então isso é especial caso separável com e . Então qualquer equação autonoma é separável (salvo atenção a pontos singulares onde ao separar).
Aplicando isso à nossa equação: o lado direito é, que depende somente de . Portanto a equação é separável.
Passo 3
Separe as variáveis explicitamente:
Agora integramos ambos os lados. Vou explicar com calma como calcular a integral do lado esquerdo.
Passo 4
Calcular a integral
.
- Primeiro completar o quadrado no denominador:
- Faça a substituição
. Então e o denominador fica . - Escrevendo
, a integral fica
- Lembrando a fórmula básica (que vale para
):
aplicamos com
. Assim
Passo 5
Integrando ambos os lados da separação
obtemos a relação implícita
onde
é constante de integração. Esta é a forma implícita da solução. A partir dela é possível isolar
explicitamente aplicando a função tangente e resolvendo para
.
Passo 6
Isolando
(passos algébricos rápidos, sem detalhar de novo a integração):
- Multiplica-se por
e aplica-se dos dois lados para obter
- Portanto
Comentários e observações úteis para a prova (por que isso importa):
- Não existem soluções constantes (equilíbrios) reais porque
não tem raízes reais ( ). Logo não há tal que . - Como
para todo , tem-se : soluções são estritamente crescentes. - A forma explícita com
mostra que soluções podem ter singularidades em tempo finito (quando o argumento da tangente atinge ), informação que às vezes é relevante em questões sobre existência máxima em tempo.
Resposta
A equação é separável. A solução geral é
onde
é constante de integração.