Nos problemas a seguir, determine se a equação é separável.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para determinar se a equação é separável.
Informações fornecidas:
- A incógnita é
, função de . - A derivada é
. - A equação é linear aparente pela presença do termo
e do termo não homogêneo . - A pergunta é apenas sobre separabilidade (se é possível escrever a equação na forma
).
Passo 2
O que significa “separável”?
Uma equação diferencial de primeira ordem é separável quando pode ser escrita como
Uma equação diferencial de primeira ordem é separável quando pode ser escrita como
ou seja, o lado direito é um produto de uma função que depende só de
por uma função que depende só de
. Nesse caso podemos rearranjar e integrar as duas partes separadamente:
Portanto, para testar separabilidade, devemos transformar a equação em
ou mostrar que isso é impossível.
Passo 3
Isolar
na equação dada:
O lado direito é soma de duas parcelas: uma que depende só de
(isto é,
) e outra que depende só de
(isto é,
). Para ser separável, essa soma teria de ser representável como produto de uma função só de
por uma função só de
; isto é, precisaríamos ter funções
e
tais que, para todo
,
Passo 4
Mostrando que essa fatoração é impossível (prova por contradição): suponha que existam
e
com
Derivando ambos os lados em relação a
(tratando
como parâmetro), obtemos
Como
não depende de
,
. E
. Logo
O lado esquerdo depende somente de
; o lado direito é produto de uma função de
por uma função de
. Para que essa igualdade seja válida para todos os
, a função
teria de ser constante (caso contrário variar com
enquanto o lado esquerdo não varia com
). Seja
constante. Então a relação original fica
Mas o membro esquerdo depende de
(porque tem o termo
) enquanto o membro direito não depende de
. A única forma de conciliar isso seria
, o que leva a
para todos
, o que é impossível. Portanto chegamos a contradição: não existem
e
que façam a fatoração.
Passo 5
Resumo das implicações práticas (dica para a prova): a presença de uma soma de um termo puramente em
com um termo puramente em
tipicamente impede separabilidade, porque separabilidade exige um produto
. A equação dada é um exemplo típico de equação linear não homogênea de primeira ordem, que não é separável, mas que pode ser resolvida por fator integrante. Para quem quiser resolver (não pedido, mas útil na prova): multiplicando por
obtém-se
integra-se e encontra-se a solução geral
com
constante arbitrária.
Resposta
Não é separável.