Nos problemas a seguir, determine se a equação é separável.
x^{\prime}+2 x=e^{-t}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
x' + 2x = e^{-t},
e pede para determinar se a equação é separável.
Informações fornecidas:
  • A incógnita é x, função de t.
  • A derivada é x'=\dfrac{dx}{dt}.
  • A equação é linear aparente pela presença do termo 2x e do termo não homogêneo e^{-t}.
  • A pergunta é apenas sobre separabilidade (se é possível escrever a equação na forma x' = g(t)\,h(x)).

Passo 2

O que significa “separável”?
Uma equação diferencial de primeira ordem é separável quando pode ser escrita como
\frac{dx}{dt} = G(t)\,H(x),
ou seja, o lado direito é um produto de uma função que depende só de t por uma função que depende só de x. Nesse caso podemos rearranjar e integrar as duas partes separadamente:
\frac{1}{H(x)}\,dx = G(t)\,dt.
Portanto, para testar separabilidade, devemos transformar a equação em \dfrac{dx}{dt} = \text{(função de }t\text{)}\times\text{(função de }x\text{)}çãçã ou mostrar que isso é impossível.

Passo 3

Isolar x' na equação dada:
x' = -2x + e^{-t}.
O lado direito é soma de duas parcelas: uma que depende só de x (isto é, -2x) e outra que depende só de t (isto é, e^{-t}). Para ser separável, essa soma teria de ser representável como produto de uma função só de t por uma função só de x; isto é, precisaríamos ter funções G(t) e H(x) tais que, para todo t,x,
-2x + e^{-t} = G(t)\,H(x).

Passo 4

Mostrando que essa fatoração é impossível (prova por contradição): suponha que existam G(t) e H(x) com
-2x + e^{-t} = G(t)\,H(x)\quad\text{para todos }t,x.
Derivando ambos os lados em relação a t (tratando x como parâmetro), obtemos
\frac{d}{dt}\big(-2x + e^{-t}\big) = \frac{d}{dt}\big(G(t)H(x)\big).
Como -2x não depende de t, \dfrac{d}{dt}(-2x + e^{-t}) = -e^{-t}. E \dfrac{d}{dt}(G(t)H(x)) = G'(t)H(x). Logo
-e^{-t} = G'(t)\,H(x)\quad\text{para todos }t,x.
O lado esquerdo depende somente de t; o lado direito é produto de uma função de t por uma função de x. Para que essa igualdade seja válida para todos os x, a função H(x) teria de ser constante (caso contrário variar com x enquanto o lado esquerdo não varia com x). Seja H(x)=C constante. Então a relação original fica
-2x + e^{-t} = C\,G(t).
Mas o membro esquerdo depende de x (porque tem o termo -2x) enquanto o membro direito não depende de x. A única forma de conciliar isso seria C=0, o que leva a -2x + e^{-t} = 0 para todos t,x, o que é impossível. Portanto chegamos a contradição: não existem G e H que façam a fatoração.

Passo 5

Resumo das implicações práticas (dica para a prova): a presença de uma soma de um termo puramente em x com um termo puramente em t tipicamente impede separabilidade, porque separabilidade exige um produto G(t)\,H(x). A equação dada é um exemplo típico de equação linear não homogênea de primeira ordem, que não é separável, mas que pode ser resolvida por fator integrante. Para quem quiser resolver (não pedido, mas útil na prova): multiplicando por e^{2t} obtém-se
\big(e^{2t}x\big)' = e^{2t}e^{-t}=e^{t},
integra-se e encontra-se a solução geral
x(t) = e^{-t} + C e^{-2t},
com C constante arbitrária.

Resposta

Não é separável.

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