Nos problemas a seguir, determine se a equação é separável.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para determinar se essa equação é separável. Informação relevante que temos:
-
significa , derivada de em relação à variável independente . - A equação é de primeira ordem e linear em
. - O pedido é apenas determinar se é separável (mas iremos também mostrar como separar e resolver para aprender o procedimento).
Passo 2
O que significa uma equação ser separável? Uma equação de primeira ordem é chamada separável se pode ser escrita na forma
ou seja, o lado direito é um produto de uma função que depende somente de
e outra que depende somente de
. Se isso for possível, a técnica de separação de variáveis procede assim:
- Coloca-se todos os termos que dependem de
multiplicando num lado e todos os termos que dependem de multiplicando no outro:
- Integra-se ambos os lados:
- Resolve-se a integral e, se possível, isola-se
em função de .
Um exemplo simples e didático: para
tem-se
, integra-se e obtém-se a solução.
Passo 3
Voltemos à equação dada. Primeiro escrevemos na forma padrão
(lado direito):
Observe que o lado direito depende apenas de
(é uma função de
sem dependência explícita em
). Isso pode ser visto como produto
com
(uma função constante de
) e
. Portanto a equação admite separação de variáveis. Agora fazemos a separação de forma explícita:
Passo 4
Integramos ambos os lados. Para integrar o lado esquerdo, usamos a substituição
, logo
e
. Então
Voltando para
,
No lado direito,
Igualando as integrais (absorvendo constantes numa só constante
):
Passo 5
Isolamos
. Multiplicando por
e exponenciando:
Definindo
e retirando o valor absoluto (absorvendo sinal em uma constante arbitrária
), escrevemos
onde
é uma constante real (pode ser positiva ou negativa). Finalmente,
Renomeando a constante
por
(constante arbitrária), a forma usual da solução geral é
com
.
Passo 6
Resumo didático e conclusão: a equação é separável porque o lado direito depende somente de
(pode ser vista como
). Seguindo a técnica de separação de variáveis e integração obtém-se a solução geral
. Dica para a prova: sempre verifique se o lado direito pode ser escrita como produto de uma função de
e outra de
; se uma das funções for constante (como
aqui), isso já garante separabilidade.
Resposta
Sim. A equação é separável. A solução geral é
.