Nos problemas a seguir, determine se a equação é separável.
x^{\prime}+2 x=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x' + 2x = 1
e pede para determinar se essa equação é separável. Informação relevante que temos:
  • x' significa \dfrac{dx}{dt}, derivada de x em relação à variável independente t.
  • A equação é de primeira ordem e linear em x.
  • O pedido é apenas determinar se é separável (mas iremos também mostrar como separar e resolver para aprender o procedimento).

Passo 2

O que significa uma equação ser separável? Uma equação de primeira ordem é chamada separável se pode ser escrita na forma
\frac{dx}{dt}=f(t)\,g(x),
ou seja, o lado direito é um produto de uma função que depende somente de t e outra que depende somente de x. Se isso for possível, a técnica de separação de variáveis procede assim:
  • Coloca-se todos os termos que dependem de x multiplicando dx num lado e todos os termos que dependem de t multiplicando dt no outro:
\frac{1}{g(x)}\,dx = f(t)\,dt.
  • Integra-se ambos os lados:
\int \frac{1}{g(x)}\,dx = \int f(t)\,dt + C.
  • Resolve-se a integral e, se possível, isola-se x em função de t.
Um exemplo simples e didático: para \dfrac{dx}{dt}=t\,x^2 tem-se \dfrac{dx}{x^2}=t\,dt, integra-se e obtém-se a solução.

Passo 3

Voltemos à equação dada. Primeiro escrevemos na forma padrão \dfrac{dx}{dt}= (lado direito):
\frac{dx}{dt}=1-2x.
Observe que o lado direito depende apenas de x (é uma função de x sem dependência explícita em t). Isso pode ser visto como produto f(t)\,g(x) com f(t)=1 (uma função constante de t) e g(x)=1-2x. Portanto a equação admite separação de variáveis. Agora fazemos a separação de forma explícita:
\frac{dx}{dt}=1-2x \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{1-2x}=dt.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Para integrar o lado esquerdo, usamos a substituição u=1-2x, logo du=-2\,dx e dx=-\dfrac{1}{2}\,du. Então
\int \frac{dx}{1-2x} = \int \frac{-\tfrac{1}{2}\,du}{u} = -\frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = -\frac{1}{2}\ln|u| + C_1.
Voltando para x,
\int \frac{dx}{1-2x} = -\frac{1}{2}\ln|1-2x| + C_1.
No lado direito,
\int dt = t + C_2.
Igualando as integrais (absorvendo constantes numa só constante C):
-\frac{1}{2}\ln|1-2x| = t + C.

Passo 5

Isolamos x. Multiplicando por -2 e exponenciando:
\ln|1-2x| = -2t + C',\qquad |1-2x| = e^{C'} e^{-2t}.
Definindo A=e^{C'}>0 e retirando o valor absoluto (absorvendo sinal em uma constante arbitrária K), escrevemos
1-2x = K e^{-2t},
onde K é uma constante real (pode ser positiva ou negativa). Finalmente,
2x = 1 - K e^{-2t}\quad\Longrightarrow\quad x(t)=\frac{1}{2} - \frac{K}{2}e^{-2t}.
Renomeando a constante -K/2 por C (constante arbitrária), a forma usual da solução geral é
x(t)=\frac{1}{2}+C\,e^{-2t},
com C\in\mathbb{R}.

Passo 6

Resumo didático e conclusão: a equação é separável porque o lado direito depende somente de x (pode ser vista como 1\cdot(1-2x)). Seguindo a técnica de separação de variáveis e integração obtém-se a solução geral \,x(t)=\dfrac{1}{2}+C\,e^{-2t}\,. Dica para a prova: sempre verifique se o lado direito pode ser escrita como produto de uma função de t e outra de x; se uma das funções for constante (como 1 aqui), isso já garante separabilidade.

Resposta

Sim. A equação é separável. A solução geral é \displaystyle x(t)=\frac{1}{2}+C\,e^{-2t}.

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