Determine se as seguintes equações diferenciais de segunda ordem são lineares ou não lineares, homogêneas ou não homogêneas e com coeficientes constantes ou variáveis.
y^prime prime+3 y y^prime=6 x^2

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de segunda ordem y'' + 3,y,y' = 6x^2. Vamos classificar se ela é linear ou não linear, homogênea ou não homogênea e se tem coeficientes constantes ou variáveis.

Passo 2

Para verificar a linearidade, lembramos que uma EDO é linear se as incógnitas y, y', y'' aparecem apenas multiplicadas por funções de x (ou constantes) e nunca entre si. Aqui temos o termo 3,y,y', que é produto de y por y'. Isso caracteriza uma não linearidade, pois envolve interação entre as próprias variáveis da solução.

Passo 3

Para identificar se é homogênea, usamos o conceito de EDO linear: se o lado direito é zero, dizemos homogênea; se não, não homogênea. Nesta equação o termo independente é 6x^2, diferente de zero, logo a EDO é não homogênea.

Passo 4

Quanto aos coeficientes, como o termo 3,y,y' depende de y, isso significa que o “coeficiente” de y' não é constante nem função apenas de x, mas de y também. Portanto, trabalhamos com coeficientes variáveis.

Resposta

Não linear, não homogênea, coeficientes variáveis

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