Determine se as seguintes equações diferenciais de segunda ordem são lineares ou não lineares, homogêneas ou não homogêneas e com coeficientes constantes ou variáveis.
y^prime prime-3 y=e^2 x

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial de segunda ordem
y'' - 3y = e^2x. O conteúdo aqui é teoria de classificação de EDOs (linearidade, homogeneidade e tipo de coeficientes).

Passo 2

Uma equação diferencial é dita linear se pode ser escrita como
a2(x)y'' + a1(x)y' + a0(x)y = g(x) sem termos como y^2, yy', etc. No nosso caso temos
1cdot y'' + 0cdot y' -3cdot y = e^2x, ou seja, apenas combinações lineares de y'', y' e y. Logo, é linear.

Passo 3

Uma equação linear é homogênea se o termo independente g(x) for zero. Aqui g(x)=e^2x, que não é zero para todo x. Portanto, a equação é não homogênea.

Passo 4

Para saber se os coeficientes são constantes ou variáveis, olhamos em a2(x), a1(x) e a0(x). No nosso caso são 1, 0 e -3, todos números fixos, sem depender de x. Logo, são coeficientes constantes.

Resposta

Linear, não homogênea, coeficientes constantes

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