Determine se as seguintes equações diferenciais de segunda ordem são lineares ou não lineares, homogêneas ou não homogêneas e com coeficientes constantes ou variáveis.
x^2 y^prime prime+x y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de segunda ordem x^2y'' + x y' + y = 0 e pede para classificá-la em relação a linearidade, homogeneidade e tipo de coeficientes. Vamos usar definições de EDOs lineares de segunda ordem.

Passo 2

Uma EDO de segunda ordem é dita linear se puder ser escrita na forma a2(x)y'' + a1(x)y' + a0(x)y = g(x), ou seja, y, y' e y'' aparecem apenas em potências 1 e não há produtos ou funções não lineares de y. No nosso caso, temos exatamente x^2y'' + x y' + 1,y = 0, sem termos como y^2 ou y y'. Logo, é linear.

Passo 3

Uma EDO é homogênea se o termo do lado direito for zero ( g(x)=0). Aqui temos =0, portanto é homogênea.

Passo 4

Os coeficientes da EDO são as funções multiplicadoras de y'', y' e y, ou seja, a2(x)=x^2, a1(x)=x e a0(x)=1. Como a2 e a1 dependem de x, são coeficientes variáveis.

Resposta

A equação é linear, homogênea e tem coeficientes variáveis.

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