Determine se as seguintes equações diferenciais de segunda ordem são lineares ou não lineares, homogêneas ou não homogêneas e com coeficientes constantes ou variáveis.
y^prime prime+x y^prime-3 y=sin 2 x

Passo 1

A equação dada é y'' + x y' - 3y = sin 2x. O assunto aqui é classificação de equações diferenciais de segunda ordem: vamos analisar se é linear ou não, se é homogênea ou não e se tem coeficientes constantes ou variáveis.

Passo 2

Uma equação diferencial é dita linear quando a função incógnita e suas derivadas aparecem apenas em potência 1 e sem produtos entre si. Na equação y'' + x y' - 3y = sin 2x, vemos que aparecem y'', y' e y multiplicados por funções de x (como x e -3), mas nunca ycdot y' ou (y')^2. Portanto, a equação é linear.

Passo 3

Para verificar homogeneidade, observamos o termo que fica do lado direito da igualdade. Se for zero, a equação é homogênea; se for diferente de zero, é não homogênea. Aqui o lado direito é sin 2x, que não é zero. Logo, a equação é não homogênea.

Passo 4

Os coeficientes da equação são as funções que multiplicam y'', y' e y. No caso, o coeficiente de y'' é 1 (constante), de y' é x (variável) e de y é -3 (constante). Como aparece um coeficiente que depende de x, dizemos que a equação tem coeficientes variáveis.

Resposta

Linear, não homogênea e com coeficientes variáveis.

Exercícios relacionados