Determine se as seguintes equações são exatas. Se forem, encontre uma solução.
\left(\frac{1}{1+y^{2}}+\cos x-2 x y\right) \frac{d x}{d y}=y(y+\sin x), y(0)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação
\Bigl(\frac{1}{1+y^{2}}+\cos x-2xy\Bigr)\,\frac{dx}{dy} =y(y+\sin x),
com condição y(0)=1. Queremos escrever isso na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
e verificar se é exata.

Passo 2

Multiplicando por dy e passando todos os termos para o lado esquerdo:
\Bigl(\frac{1}{1+y^{2}}+\cos x-2xy\Bigr)\,dx - y(y+\sin x)\,dy = 0.
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M(x,y)=\frac{1}{1+y^{2}}+\cos x-2xy, \quad N(x,y)=-\,y\bigl(y+\sin x\bigr).

Passo 3

Calculamos \frac{\partial M}{\partial y}. Como \frac{d}{dy}\bigl(1/(1+y^{2})\bigr)=-\frac{2y}{(1+y^{2})^{2}}, \frac{\partial}{\partial y}(\cos x)=0 e \frac{\partial}{\partial y}(-2xy)=-2x, obtém-se
\frac{\partial M}{\partial y} =-\frac{2y}{(1+y^{2})^{2}} -2x.

Passo 4

Agora \frac{\partial N}{\partial x}. Como N(x,y)=-y^2 - y\sin x,
temos \frac{\partial}{\partial x}(-y^2)=0 e \frac{\partial}{\partial x}(-y\sin x)=-y\cos x. Assim
\frac{\partial N}{\partial x} = -\,y\cos x.

Passo 5

Para exatidão precisamos de \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Mas
-\frac{2y}{(1+y^{2})^{2}} -2x \;\neq\;-y\cos x
em geral. Portanto a equação não é exata.

Resposta

A equação não é exata, logo não admite diretamente uma solução pela condição de exatidão.

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