\int\left(2 x^{3}-5 x+7\right) dx

Passo 1

O enunciado pede
\int\bigl(2x^{3}-5x+7\bigr)\,dx
Isso envolve o uso da linearidade da integral (podemos separar soma e constantes) e da fórmula da potência, que diz
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Usando a linearidade, escrevemos
\int\bigl(2x^{3}-5x+7\bigr)\,dx = \int 2x^{3}\,dx \;-\;\int 5x\,dx \;+\;\int 7\,dx.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da potência a cada termo:
\int 2x^{3}\,dx = 2\int x^{3}\,dx = 2\cdot\frac{x^{4}}{4} = \frac{x^{4}}{2},
\int 5x\,dx = 5\int x\,dx = 5\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{5x^{2}}{2},
\int 7\,dx = 7x.

Passo 4

Somando os resultados e adicionando a constante de integração C, temos
\int\bigl(2x^{3}-5x+7\bigr)\,dx = \frac{x^{4}}{2} \;-\;\frac{5x^{2}}{2} \;+\;7x \;+\;C.

Resposta

\frac{x^{4}}{2} - \frac{5x^{2}}{2} + 7x + C

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