\int\left(3 t^{2}+\frac{t}{2}\right) dt

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(3t^{2} + \tfrac{t}{2}\bigr)\,dt.
Para isso vamos usar a linearidade da integral (somar integrais) e a regra do poder, que diz que
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Aplicando a linearidade, escrevemos
\int\bigl(3t^{2} + \tfrac{t}{2}\bigr)\,dt = \int 3t^{2}\,dt \;+\; \int \tfrac{t}{2}\,dt.

Passo 3

Para a primeira parte, extraímos a constante 3:
\int 3t^{2}\,dt = 3 \int t^{2}\,dt = 3 \cdot \frac{t^{3}}{3} = t^{3}.

Passo 4

Para a segunda parte, extraímos \tfrac12:
\int \tfrac{t}{2}\,dt = \tfrac12 \int t\,dt = \tfrac12 \cdot \frac{t^{2}}{2} = \frac{t^{2}}{4}.

Passo 5

Somando os resultados e inserindo a constante de integração C, obtemos
\int\bigl(3t^{2} + \tfrac{t}{2}\bigr)\,dt = t^{3} + \frac{t^{2}}{4} + C.

Resposta

t^{3} + \frac{t^{2}}{4} + C

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