Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares:
S: P2[x](R) R^3, definida por S(p(x))=(p(0), p^prime(0), p^prime prime(0)).

Passo 1

O enunciado define a aplicação
Scolon P2[x](R) to R^3
por
Sl(p(x)r)=l(p(0),,p'(0),,p''(0)r)
O conteúdo principal aqui é verificar se S preserva soma de vetores e multiplicação por escalar, usando que derivada e avaliação em um ponto são operações lineares.

Passo 2

Verificação da aditividade. Sejam p,qinP2[x]. Então
S(p+q) =l((p+q)(0),,(p+q)'(0),,(p+q)''(0)r) =l(p(0)+q(0),,p'(0)+q'(0),,p''(0)+q''(0)r) =S(p)+S(q)

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja alphainR e pinP2[x]. Então
S(alpha p) =l((alpha p)(0),,(alpha p)'(0),,(alpha p)''(0)r) =l(alpha p(0),,alpha p'(0),,alpha p''(0)r) =alpha,S(p)

Resposta

S é uma aplicação linear.

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