Estabeleça as condições que devem ser satisfeitas pelos termos independentes para que sejam consistentes os sistemas a seguir.
4 x+12 y+8 z & =a 2 x+5 y+3 z & =b -4 y-4 z & =c

Passo 1

O enunciado dá o sistema
4x + 12y + 8z = a, 2x + 5y + 3z = b, -4y -4z = c,
e pede as condições sobre a,b,c para que haja pelo menos uma solução. Como é um sistema linear, vamos usar eliminação de Gauss e impor que o posto da matriz de coeficientes seja igual ao posto da matriz aumentada (condição de consistência).

Passo 2

Formamos a matriz aumentada
[ccc|c 4 & 12 & 8 & a 2 & 5 & 3 & b 0 & -4 & -4 & c ]
e aplicamos
R2 R2 - tfrac12,R1,
ficando
[ccc|c 4 & 12 & 8 & a 0 & -1 & -1 & b - tfrac12a 0 & -4 & -4 & c ]

Passo 3

Note que a segunda e a terceira linhas têm os mesmos coeficientes em y,z (ambas são (0,-4,-4) até um fator 4). Para que o sistema não fique com uma equação contraditória, a parte independente da linha 3 deve ser o mesmo múltiplo da de R2. Como
R2=(0,-1,-1mid b-tfrac12a) Longrightarrow 4,R2=(0,-4,-4mid 4b-2a),
temos de exigir que a linha 3 seja exatamente igual a 4,R2.

Passo 4

Igualando a parte independente da linha 3 ao termo de 4,R2, obtemos
c = 4b - 2a

Resposta

A condição de consistência do sistema é
c = 4b - 2a

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