Encontre todas as soluções do sistema
x1+3 x2+2 x3+3 x4-7 x5 & =14 2 x1+6 x2+x3-2 x4+5 x5 & =-2 x1+3 x2-x3+2 x5 & =-1

Passo 1

O enunciado pede todas as soluções do sistema linear com cinco incógnitas e três equações:
O conteúdo é resolução de sistemas lineares por eliminação de Gauss; vamos montar a matriz aumentada e escalonar.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e aplicamos elevações de linha para zerar abaixo do pivô em x1:
(ccccc|c 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & 14 2 & 6 & 1 & -2 & 5 & -2 1 & 3 & -1 & 0 & 2 & -1 )
Fazemos L2 L2-2L1 e L3 L3-L1, obtendo
(ccccc|c 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & 14 0 & 0 & -3 & -8 & 19 & -30 0 & 0 & -3 & -3 & 9 & -15 )
Em seguida L3 L3-L2, dando
(ccccc|c 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & 14 0 & 0 & -3 & -8 & 19 & -30 0 & 0 & 0 & 5 & -10 & 15 )

Passo 3

A última linha corresponde a
5x4-10x5=15,
a segunda a
-3x3-8x4+19x5=-30,
e a primeira à equação original em x1. Aqui os pivôs estão em x1,x3,x4, e as variáveis livres são x2 e x5. Definimos
x2=s, x5=t, s,tinR

Passo 4

Da terceira equação temos
5x4-10t=15 Longrightarrow x4=3+2t
Da segunda:
-3x3-8(3+2t)+19t=-30 ;Longrightarrow; -3x3-24-16t+19t=-30 ;Longrightarrow; -3x3+3t=-6 ;Longrightarrow; x3=2+t
Finalmente, da primeira:
x1+3s+2(2+t)+3(3+2t)-7t=14 ;Longrightarrow; x1+3s+4+2t+9+6t-7t=14 ;Longrightarrow; x1+3s+13+t=14 ;Longrightarrow; x1=1-3s-t

Passo 5

Portanto a solução geral é
(x1,x2,x3,x4,x5) =(,1-3s-t,;s,;2+t,;3+2t,;t,), s,tinR

Resposta

boxed x1&=1-3s-t, x2&=s, x3&=2+t, x4&=3+2t, x5&=t, s,tinR

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