Uma reta no R^3 é dada como a interseção de dois planos, ou seja, um sistema com duas equações lineares em três variáveis. De forma análoga, um plano no R^4 é dada como a interseção de dois hiperplanos, ou seja, um sistema com duas equações lineares em quatro variáveis. Com base nesta informação, explique por quê no R^4 a interseção de dois planos pode ser um único ponto. Isto pode ocorrer no R^3 ? (Este exemplo mostra como, algumas vezes, a nossa intuição pode falhar!)

Passo 1

O enunciado lembra que em R^3 cada reta pode ser vista como a interseção de dois planos (cada plano é dimensão 2 e o espaço é dimensão 3), e que, de modo análogo, em R^4 cada “plano” (subespaço afim de dimensão 2) surge como interseção de dois hiperplanos (cada hiperplano é dimensão 3 num espaço de dimensão 4). Queremos entender por que em R^4 duas dessas “planos” de dimensão 2 podem se cruzar apenas num ponto, e verificar se algo assim é possível em R^3.

Passo 2

Lembramos a fórmula de dimensão para a interseção de dois subespaços lineares U e V em um espaço de dimensão n:
dim(Ucap V);>=;dim(U)+dim(V)-n,
e, em posição geral (sem “alinhamentos especiais”), vale a igualdade.

Passo 3

Aplicando em R^4 a dois planos (subespaços de dimensão 2):
dim(Ucap V) =dim(U)+dim(V)-4 =2+2-4=0
Dimensão 0 significa exatamente um ponto (no caso mais comum, o ponto será a única solução de um sistema linear).

Passo 4

Em contraste, em R^3 dois planos (cada um de dimensão 2) têm, em posição geral,
dim(Ucap V) =2+2-3=1,
ou seja, sua interseção é tipicamente uma reta (dimensão 1). Para que dois planos em R^3 “intersectem” num ponto seria preciso violar o cálculo de dimensão (eles teriam de ser inclinados de modo impossível), de modo que isso não acontece: ou intersectam numa reta, ou são paralelos sem interseção, ou coincidem.

Passo 5

Um exemplo concreto em R^4:
– Plano U: (x1,x2,x3,x4)mid x1=0,;x2=0.
– Plano V: (x1,x2,x3,x4)mid x3=0,;x4=0.
Cada um é a interseção de dois hiperplanos, mas
Ucap V=(0,0,0,0)
é apenas o ponto zero.

Resposta

Em R^4 dois planos (dimensão 2) em posição geral intersectam num subespaço de dimensão
2+2-4=0,
ou seja, num ponto. Em R^3 dois planos têm interseção de dimensão
2+2-3=1,
portanto nunca podem cruzar num único ponto — a não ser que sejam paralelos (nenhuma interseção) ou sejam o mesmo plano.

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