Uma reta no
é dada como a interseção de dois planos, ou seja, um sistema com duas equações lineares em três variáveis. De forma análoga, um plano no
é dada como a interseção de dois hiperplanos, ou seja, um sistema com duas equações lineares em quatro variáveis. Com base nesta informação, explique por quê no
a interseção de dois planos pode ser um único ponto. Isto pode ocorrer no
? (Este exemplo mostra como, algumas vezes, a nossa intuição pode falhar!)
Passo 1
O enunciado lembra que em
cada reta pode ser vista como a interseção de dois planos (cada plano é dimensão 2 e o espaço é dimensão 3), e que, de modo análogo, em
cada “plano” (subespaço afim de dimensão 2) surge como interseção de dois hiperplanos (cada hiperplano é dimensão 3 num espaço de dimensão 4). Queremos entender por que em
duas dessas “planos” de dimensão 2 podem se cruzar apenas num ponto, e verificar se algo assim é possível em
.
Passo 2
Lembramos a fórmula de dimensão para a interseção de dois subespaços lineares
e
em um espaço de dimensão
:
e, em posição geral (sem “alinhamentos especiais”), vale a igualdade.
Passo 3
Aplicando em
a dois planos (subespaços de dimensão 2):
Dimensão 0 significa exatamente um ponto (no caso mais comum, o ponto será a única solução de um sistema linear).
Passo 4
Em contraste, em
dois planos (cada um de dimensão 2) têm, em posição geral,
ou seja, sua interseção é tipicamente uma reta (dimensão 1). Para que dois planos em
“intersectem” num ponto seria preciso violar o cálculo de dimensão (eles teriam de ser inclinados de modo impossível), de modo que isso não acontece: ou intersectam numa reta, ou são paralelos sem interseção, ou coincidem.
Passo 5
Um exemplo concreto em
:
– Plano :
.
– Plano :
.
Cada um é a interseção de dois hiperplanos, mas
– Plano
– Plano
Cada um é a interseção de dois hiperplanos, mas
é apenas o ponto zero.
Resposta
Em
dois planos (dimensão 2) em posição geral intersectam num subespaço de dimensão
ou seja, num ponto. Em
dois planos têm interseção de dimensão
portanto nunca podem cruzar num único ponto — a não ser que sejam paralelos (nenhuma interseção) ou sejam o mesmo plano.