Resolva o sistema usando a eliminação Gauss com substituição regressiva ou eliminação de Gauss-Jordan:
x_{1}+x_{2}-5 x_{3}=3
x_{1}
-2 x_{3}=1
2 x_{1}-x_{2}-x_{3}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema por eliminação de Gauss (ou Gauss–Jordan)
\begin{cases} x_{1}+x_{2}-5x_{3}=3,\\\ x_{1}-2x_{3}=1,\\\\ 2x_{1}-x_{2}-x_{3}=0 \end{cases}
usando matriz aumentada e depois substituição regressiva.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 & 3\\\\ 1 & 0 & -2 & 1\\\\ 2 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}

Passo 3

Eliminamos o coeficiente de x_{1} em R2 e R3 usando R1 como pivô:
R2 \leftarrow R2 – R1 e R3 \leftarrow R3 – 2\cdotR1, obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 & 3\\\\ 0 & -1 & 3 & -2\\\\ 0 & -3 & 9 & -6 \end{pmatrix}

Passo 4

Agora o pivô de x_{2} está em R2. Eliminamos o coeficiente em R3:
R3 \leftarrow R3 – 3\cdotR2, ficando
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 & 3\\\\ 0 & -1 & 3 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Isso indica que há uma equação redundante (linha nula) e, portanto, soluções infinitas.

Passo 5

Tomamos x_{3}=t como parâmetro livre.
Da segunda equação -x_{2}+3x_{3}=-2 segue
x_{2}=3x_{3}+2=3t+2.
Da primeira equação x_{1}+x_{2}-5x_{3}=3 segue
x_{1}=3-x_{2}+5x_{3}=1+2t.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3})=(1+2t,\;2+3t,\;t),\quad t\in\mathbb{R}.

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