Resolva o sistema usando a eliminação Gauss com substituição regressiva ou eliminação de Gauss-Jordan:
\begin{aligned} 4 x_{1}-3 x_{2}+7 x_{3} & =5 \\\\ 8 x_{1}-9 x_{2}+15 x_{3} & =10\end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com três incógnitas e duas equações:
\begin{cases} 4x_{1}-3x_{2}+7x_{3}=5,\\\\ 8x_{1}-9x_{2}+15x_{3}=10.
Queremos usar o método da eliminação de Gauss para triangularizar o sistema e, em seguida, fazer substituição regressiva. Vamos precisar montar a matriz aumentada, zerar os coeficientes abaixo do pivô principal e identificar a variável livre.

Passo 2

Formamos a matriz aumentada e aplicamos operações elementares para zerar o elemento abaixo de 4 na primeira coluna. Começamos com
\begin{pmatrix} 4 & -3 & 7 & \vrule & 5 \\[6pt] 8 & -9 & 15 & \vrule & 10 \end{pmatrix}.
Fazendo L_{2}\leftarrow L_{2}-2L_{1}, obtemos
\begin{pmatrix} 4 & -3 & 7 & \vrule & 5 \\[6pt] 0 & -3 & 1 & \vrule & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora o sistema correspondente é
\begin{cases} 4x_{1}-3x_{2}+7x_{3}=5,\\\\ -3x_{2}+x_{3}=0. \end{cases}
Da segunda equação isolamos x_{2} em função de x_{3}:
-3x_{2}+x_{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=\frac{x_{3}}{3}.

Passo 4

Na primeira equação fazemos a substituição de x_{2}:
4x_{1}-3\Bigl(\frac{x_{3}}{3}\Bigr)+7x_{3}=5 \quad\Longrightarrow\quad 4x_{1}-x_{3}+7x_{3}=5 \quad\Longrightarrow\quad 4x_{1}+6x_{3}=5.
Isolando x_{1}, temos
x_{1}=\frac{5-6x_{3}}{4}.

Passo 5

Como há menos equações que incógnitas, x_{3} é variável livre. Denotamos x_{3}=t, t\in\mathbb{R}. Assim:
x_{1}=\frac{5-6t}{4},\quad x_{2}=\frac{t}{3},\quad x_{3}=t.

Resposta

A solução geral do sistema é
\bigl(x_{1},x_{2},x_{3}\bigr) = \Bigl(\tfrac{5-6t}{4},\,\tfrac{t}{3},\,t\Bigr),\quad t\in\mathbb{R}.

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