Determine quais das seguintes funções são Aplicações Lineares
com
Passo 1
O enunciado dá uma única função
definida por
A pergunta é: determinar se essa função é uma aplicação linear (ou seja, se
preserva soma de vetores e multiplicação por escalar).
Passo 2
Primeiro, lembrar a definição prática de aplicação linear (vou explicar devagarinho): uma função
entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem as duas propriedades:
Se ambas forem verdadeiras, então
é linear. Vou verificar cada uma cuidadosamente.
Passo 3
Verificação da aditividade. Seja
e
. Então
Aplicando
ao somatório,
Agora calcule
. Temos
Somando as componentes:
Reorganizando termos em cada componente obtém-se exatamente
que coincide com
calculado acima. Portanto a propriedade de aditividade é satisfeita:
Passo 4
Verificação da homogeneidade. Seja
e
. Então
Aplicando
,
Fatorando
em cada componente:
Portanto a homogeneidade também vale:
para todo
e todo
.
Passo 5
Como as duas propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas, concluímos que
é linear. Como observação extra (não necessária, mas útil na prova): a aplicação
pode ser escrita como multiplicação por matriz na base canônica:
e toda transformação dada por uma multiplicação matricial é linear — é mais uma maneira de ver que
é linear.]
Resposta
Sim,
é uma aplicação linear.