Determine quais das seguintes funções são Aplicações Lineares
T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} com T(x, y)=(x+y, x-y)

Passo 1

O enunciado dá uma única função T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=(x+y,\;x-y).
A pergunta é: determinar se essa função é uma aplicação linear (ou seja, se T preserva soma de vetores e multiplicação por escalar).

Passo 2

Primeiro, lembrar a definição prática de aplicação linear (vou explicar devagarinho): uma função T entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
\text{(aditividade)}\qquad T(u+v)=T(u)+T(v),
\text{(homogeneidade)}\qquad T(c\,u)=c\,T(u).
Se ambas forem verdadeiras, então T é linear. Vou verificar cada uma cuidadosamente.

Passo 3

Verificação da aditividade. Seja u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Aplicando T ao somatório,
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=\big((x_1+x_2)+(y_1+y_2),\;(x_1+x_2)-(y_1+y_2)\big).
Agora calcule T(u)+T(v). Temos
T(u)=(x_1+y_1,\;x_1-y_1),\qquad T(v)=(x_2+y_2,\;x_2-y_2).
Somando as componentes:
T(u)+T(v)=\big((x_1+y_1)+(x_2+y_2),\;(x_1-y_1)+(x_2-y_2)\big).
Reorganizando termos em cada componente obtém-se exatamente
T(u)+T(v)=\big(x_1+x_2+y_1+y_2,\;x_1+x_2-y_1-y_2\big),
que coincide com T(u+v) calculado acima. Portanto a propriedade de aditividade é satisfeita:
T(u+v)=T(u)+T(v)\quad\text{para quaisquer }u,v.

Passo 4

Verificação da homogeneidade. Seja u=(x_1,y_1) e c\in\mathbb{R}. Então
c\,u=(c x_1,\;c y_1).
Aplicando T,
T(c\,u)=T(c x_1,\;c y_1)=\big(c x_1 + c y_1,\;c x_1 - c y_1\big).
Fatorando c em cada componente:
T(c\,u)=c\big(x_1+y_1,\;x_1-y_1\big)=c\,T(u).
Portanto a homogeneidade também vale: T(c\,u)=c\,T(u) para todo c e todo u.

Passo 5

Como as duas propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas, concluímos que T é linear. Como observação extra (não necessária, mas útil na prova): a aplicação T pode ser escrita como multiplicação por matriz na base canônica:
T(x,y)=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix},
e toda transformação dada por uma multiplicação matricial é linear — é mais uma maneira de ver que T é linear.]

Resposta

Sim, T é uma aplicação linear.

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