Verifique se o conjunto V dos números reais positivos definido pelas operações:
  • u+v=u v
  • a cdot u=u^a
    É um espaço vetorial

Passo 1

O enunciado define o conjunto V = uinRmid u>0 com as operações
u+v ;=; u,v, acdot u ;=; u^a,
onde ainR. Queremos ver se (V,+,cdot) é um espaço vetorial sobre R. Para isso, vamos checar primeiro que (V,+) é um grupo abeliano e depois as propriedades envolvendo a multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificando as propriedades de adição em V:
  • Fechamento: se u>0 e v>0 então u+v = u,v>0, logo está em V.
  • Comutatividade: u+v = u,v = v,u = v+u.
  • Associatividade: (u+v)+w = (u,v),w = u,(v,w)= u+(v+w).
  • Neutro aditivo: procuramos ein V tal que e+u=e,u=u. Basta e=1.
  • Inverso aditivo: dado u>0, existe v tal que u+v = u,v = 1. Logo v = u^-1in V.
Assim (V,+) é de fato um grupo abeliano com identidade 1.

Passo 3

Verificando a distribuição de escalar sobre soma de vetores:
acdot(u+v) = (u,v)^a = u^a,v^a
e
acdot u ;+; acdot v = u^a;+;v^a = u^a,v^a,
logo
acdot(u+v) ;=; acdot u ;+; acdot v

Passo 4

Verificando a distribuição de soma de escalares sobre vetor:
(a+b)cdot u = u^,a+b = u^a,u^b
e
acdot u ;+; bcdot u = u^a;+;u^b = u^a,u^b,
portanto
(a+b)cdot u ;=; acdot u ;+; bcdot u

Passo 5

Verificando associatividade do escalar e identidade escalar:
  • Associatividade:
(ab)cdot u = u^ab = l(u^ar)^b = bcdot(acdot u)
  • Identidade escalar:
1cdot u = u^1 = u
E note que
0cdot u = u^0 = 1,
que coincide com o elemento neutro aditivo de V, como deve acontecer em um espaço vetorial.

Resposta

O conjunto V com as operações dadas satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R. Portanto, é um espaço vetorial.

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