Verifique se o conjunto
dos números reais positivos definido pelas operações:
-
-
É um espaço vetorial
É um espaço vetorial
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com as operações
onde
. Queremos ver se
é um espaço vetorial sobre
. Para isso, vamos checar primeiro que
é um grupo abeliano e depois as propriedades envolvendo a multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificando as propriedades de adição em
:
- Fechamento: se
e então , logo está em . - Comutatividade:
. - Associatividade:
. - Neutro aditivo: procuramos
tal que . Basta . - Inverso aditivo: dado
, existe tal que . Logo .
Assim
é de fato um grupo abeliano com identidade
.
Passo 3
Verificando a distribuição de escalar sobre soma de vetores:
e
logo
Passo 4
Verificando a distribuição de soma de escalares sobre vetor:
e
portanto
Passo 5
Verificando associatividade do escalar e identidade escalar:
- Associatividade:
- Identidade escalar:
E note que
que coincide com o elemento neutro aditivo de
, como deve acontecer em um espaço vetorial.
Resposta
O conjunto
com as operações dadas satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
. Portanto, é um espaço vetorial.