Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
f_{17}: M_{2}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, f_{17}\left(\begin{array}{cc}x & y \\\ z & w\end{array}\right)=(x+y, x-2 y, z-3 w)

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação
f_{17}\colon M_{2}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^3
definida por
f_{17}\Bigl(\begin{pmatrix}x & y \\[6pt] z & w\end{pmatrix}\Bigr) = (\,x+y,\;x-2y,\;z-3w\,).
O conteúdo aqui é verificar se f_{17} preserva soma de matrizes (adi­tividade) e multiplicação por escalar (homogeneidade), pois é isso que define uma transformação linear.]

Passo 2

Verificação da aditividade. Tomemos duas matrizes
A=\begin{pmatrix}x_1 & y_1 \\[3pt] z_1 & w_1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}x_2 & y_2 \\[3pt] z_2 & w_2\end{pmatrix}.
Então
A+B = \begin{pmatrix}x_1+x_2 & y_1+y_2 \\[3pt] z_1+z_2 & w_1+w_2\end{pmatrix}
e aplicando f_{17} obtemos
f_{17}(A+B) = \bigl((x_1+x_2)+(y_1+y_2),\,(x_1+x_2)-2(y_1+y_2),\,(z_1+z_2)-3(w_1+w_2)\bigr).
Reagrupando soma de coordenadas, isso é
(\,x_1+y_1,\;x_1-2y_1,\;z_1-3w_1\,) +(\,x_2+y_2,\;x_2-2y_2,\;z_2-3w_2\,) = f_{17}(A)+f_{17}(B).
Logo f_{17}(A+B)=f_{17}(A)+f_{17}(B).]

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja c\in\mathbb{R} e
A=\begin{pmatrix}x & y \\[3pt] z & w\end{pmatrix}.
Então
c\,A = \begin{pmatrix}c\,x & c\,y \\[3pt] c\,z & c\,w\end{pmatrix}
e
f_{17}(c\,A) = \bigl(c\,x + c\,y,\; c\,x - 2c\,y,\; c\,z - 3c\,w\bigr).
Fatorando c em cada coordenada, vem
c\,(x+y,\;x-2y,\;z-3w) = c\,f_{17}(A).
Logo f_{17}(c\,A)=c\,f_{17}(A).]

Resposta

A função f_{17} é de fato uma transformação linear.

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