Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
f_{16}: \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \longrightarrow M_{2}(\mathbb{R}), f_{16}\left(x t^{3}+y t^{2}+z t+w\right)=\left[\begin{array}{rr}x+y & y \\\\ -z & w+z\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado define a função
f_{16}\colon \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \to M_{2}(\mathbb{R}),
que a cada polinômio
\displaystyle p(t)=x t^{3}+y t^{2}+z t+w associa a matriz
f_{16}(p)=\begin{pmatrix}x+y & y \\[6pt] -z & w+z\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é transformações lineares: vamos usar a definição de linearidade, ou seja, mostrar que para todo p,p'\in\mathcal{P}_3(\mathbb{R}) e todo escalar \alpha\in\mathbb{R} vale
  1. f_{16}(p+p')=f_{16}(p)+f_{16}(p')
  2. f_{16}(\alpha\,p)=\alpha\,f_{16}(p).]

Passo 2

Seja
\displaystyle p(t)=x t^{3}+y t^{2}+z t+w e
\displaystyle p'(t)=x' t^{3}+y' t^{2}+z' t+w'.
Então a soma é
\displaystyle (p+p')(t)=(x+x')t^3+(y+y')t^2+(z+z')t+(w+w').
Aplicando f_{16} a p+p' obtemos
f_{16}(p+p') =\begin{pmatrix} (x+x')+(y+y') & (y+y') \\[4pt] -(z+z') & (w+w')+(z+z') \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora somamos as imagens individuais:
f_{16}(p)+f_{16}(p') =\begin{pmatrix}x+y & y \\[4pt] -z & w+z\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}x'+y' & y' \\[4pt] -z' & w'+z'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} (x+x')+(y+y') & (y+y') \\[4pt] -(z+z') & (w+w')+(z+z') \end{pmatrix}.
Comparando com f_{16}(p+p'), vemos que
f_{16}(p+p')=f_{16}(p)+f_{16}(p'),
ou seja, a aditividade está satisfeita.]

Passo 4

Para a homogeneidade, tome \alpha\in\mathbb{R}. Então
\displaystyle (\alpha p)(t)=\alpha x\,t^3+\alpha y\,t^2+\alpha z\,t+\alpha w.
Logo
f_{16}(\alpha p) =\begin{pmatrix} \alpha x+\alpha y & \alpha y \\[4pt] -\alpha z & \alpha w+\alpha z \end{pmatrix} =\alpha\begin{pmatrix} x+y & y \\[4pt] -z & w+z \end{pmatrix} =\alpha\,f_{16}(p).
Assim, a homogeneidade também vale.]

Passo 5

Como f_{16} preserva soma e múltiplo escalar, ela satisfaz a definição de transformação linear.

Resposta

A função f_{16} é uma transformação linear.

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