Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
f_{18}: M_{2}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}, f_{18}(A)=\operatorname{det}(A)

Passo 1

O enunciado define
f_{18}\colon M_{2}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R},\quad f_{18}(A)=\det(A).
Queremos checar se f_{18} é uma transformação linear, ou seja, se satisfaz aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Recordando a definição, f é linear se, para todo A,B\in M_{2}(\mathbb{R}) e todo escalar \alpha\in\mathbb{R}, tivermos
f(A+B)=f(A)+f(B) \quad\text{e}\quad f(\alpha A)=\alpha\,f(A).

Passo 3

Verificando a homogeneidade para f_{18}:
f_{18}(\alpha A)=\det(\alpha A).
Como em matrizes 2\times2 vale \det(\alpha A)=\alpha^{2}\det(A), segue
f_{18}(\alpha A)=\alpha^{2}\det(A) =\alpha^{2}f_{18}(A),
que não coincide com \alpha f_{18}(A) para todo \alpha. Logo a homogeneidade falha.

Passo 4

Aditividade também falha em geral: por exemplo, tome
A=I_{2},\quad B=-I_{2}.
Então
f_{18}(A+B)=\det(0)=0, \qquad f_{18}(A)+f_{18}(B)=1+1=2,
logo f_{18}(A+B)\neq f_{18}(A)+f_{18}(B).

Resposta

A função f_{18}(A)=\det(A) não é transformação linear.

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