Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
f_{19}: M_{n}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}, f_{19}(A)=\operatorname{tr}(A)

Passo 1

O enunciado define a função
f_{19}\colon M_{n}(\mathbb{R})\longrightarrow\mathbb{R},\quad f_{19}(A)=\operatorname{tr}(A),
onde \operatorname{tr}(A) é a soma dos elementos da diagonal de A. Queremos verificar se f_{19} satisfaz as duas propriedades de linearidade: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Verificamos a aditividade. Para quaisquer matrizes A,B\in M_{n}(\mathbb{R}), vale a propriedade do traço:
f_{19}(A+B)=\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B)=f_{19}(A)+f_{19}(B).

Passo 3

Verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R} e matriz A\in M_{n}(\mathbb{R}), temos:
f_{19}(\alpha A)=\operatorname{tr}(\alpha A)=\alpha\,\operatorname{tr}(A)=\alpha\,f_{19}(A).

Passo 4

Como f_{19} satisfaz tanto
f_{19}(A+B)=f_{19}(A)+f_{19}(B)
quanto
f_{19}(\alpha A)=\alpha\,f_{19}(A),
concluímos que f_{19} é de fato uma transformação linear.

Resposta

f_{19} é transformação linear.

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