Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
f_{21}: \mathbb{C}^{3} \rightarrow \mathbb{C}^{4}, f_{21}(x, y, z)=(x+y+z, x-i z, 2 x+y+(1-i) z, 3 x+2 y+(2-1) z).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f_{21}\colon \mathbb{C}^{3}\to \mathbb{C}^{4},\quad f_{21}(x,y,z) = \bigl(x+y+z,\;x - i\,z,\;2x+y+(1 - i)\,z,\;3x+2y+(2-1)\,z\bigr)
é uma transformação linear. O conteúdo aqui é o de transformações lineares em espaços vetoriais sobre \mathbb{C}. Para isso, precisamos checar se f_{21} satisfaz adição e homogeneidade, ou reconhecer que ela é dada por multiplicação por uma matriz de coeficientes constantes.

Passo 2

Escrevemos f_{21}(x,y,z) na forma de produto matricial. Sejam
u = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},\quad A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & -i\\\\ 2 & 1 & 1 - i\\\\ 3 & 2 & 2-1 \end{pmatrix}.
Então
f_{21}(x,y,z) = A\,u.
Como A é uma matriz de escalares em \mathbb{C}, a aplicação u\mapsto Au é linear por definição de multiplicação matricial.

Passo 3

Alternativamente, podemos verificar diretamente as duas propriedades:
  1. Aditividade: para u,v\in \mathbb{C}^3,
f_{21}(u+v)=A\,(u+v)=Au+Av = f_{21}(u)+f_{21}(v).
  1. Homogeneidade: para \lambda\in\mathbb{C} e u\in\mathbb{C}^3,
f_{21}(\lambda u)=A\,(\lambda u)=\lambda\,(Au)=\lambda\,f_{21}(u).
Ambas se verificam por linearidade da multiplicação de matriz por vetor.

Resposta

f_{21} é transformação linear.

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