Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é uma transformação linear. O conteúdo aqui é o de transformações lineares em espaços vetoriais sobre
. Para isso, precisamos checar se
satisfaz adição e homogeneidade, ou reconhecer que ela é dada por multiplicação por uma matriz de coeficientes constantes.
Passo 2
Escrevemos
na forma de produto matricial. Sejam
Então
Como
é uma matriz de escalares em
, a aplicação
é linear por definição de multiplicação matricial.
Passo 3
Alternativamente, podemos verificar diretamente as duas propriedades:
- Aditividade: para
,
- Homogeneidade: para
e ,
Ambas se verificam por linearidade da multiplicação de matriz por vetor.