Determine se as seguintes funções são transformações lineares:
g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} onde g(x, y, z)=(x-y, \operatorname{sen}(x y z))

Passo 1

O enunciado define \displaystyle g\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}
por
g(x,y,z) = \bigl(x - y,\;\sin(xyz)\bigr).
O conteúdo é Transformações Lineares, onde precisamos verificar se g satisfaz aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Uma aplicação T é linear se, para quaisquer vetores u,v e escalar c, valerem
T(u+v) = T(u) + T(v) \quad\text{e}\quad T(c\,u) = c\,T(u).

Passo 3

Vamos testar a homogeneidade em g. Para (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} e escalar c,
g\bigl(c\,(x,y,z)\bigr) = \bigl(cx - c y,\;\sin\bigl(c\,x\;c\,y\;c\,z\bigr)\bigr) = \bigl(c(x-y),\;\sin(c^{3}xyz)\bigr),
enquanto
c\,g(x,y,z) = \bigl(c(x-y),\;c\,\sin(xyz)\bigr).
Para ser linear, precisaríamos
\sin(c^{3}xyz) \;=\; c\,\sin(xyz) \quad\forall x,y,z,c,
o que não ocorre em geral (por exemplo, tome x=y=z=1 e c=2).

Passo 4

Como a segunda componente falha em satisfazer a homogeneidade, g não é transformação linear.

Resposta

g não é transformação linear.

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