Determine se as seguintes funções são transformações lineares:
g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} onde g(x, y, z)=(x-y, \operatorname{sen}(x y z))
g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} onde g(x, y, z)=(x-y, \operatorname{sen}(x y z))
Passo 1
O enunciado define
por
por
O conteúdo é Transformações Lineares, onde precisamos verificar se
satisfaz aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Uma aplicação
é linear se, para quaisquer vetores
e escalar
, valerem
Passo 3
Vamos testar a homogeneidade em
. Para
e escalar
,
enquanto
Para ser linear, precisaríamos
o que não ocorre em geral (por exemplo, tome
e
).
Passo 4
Como a segunda componente falha em satisfazer a homogeneidade,
não é transformação linear.