Determine se as seguintes funções são transformações lineares
i) f: R^2 R^2 dada por f(x, y)=(x+2 y, 3 x-72 y),

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função f: R^2 R^2 definida por f(x, y) = (x + 2y,, 3x - 72y) é uma transformação linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função f: R^n R^m é dita linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Homogeneidade (ou Escalaridade): f(k cdot v) = k cdot f(v) para todo vetor v e escalar k .
  2. Aditividade: f(u + v) = f(u) + f(v) para todos os vetores u e v .
Se a função cumprir essas duas propriedades, então ela é uma transformação linear.

Passo 3

Vamos verificar a propriedade da aditividade. Pegamos dois vetores quaisquer u = (x1, y1) e v = (x2, y2) em R^2 . Então:
f(u + v) = f(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2) + 2(y1 + y2),, 3(x1 + x2) - 72(y1 + y2))
Simplificando isso:
= (x1 + x2 + 2y1 + 2y2,, 3x1 + 3x2 - 72y1 - 72y2)
Agora, vamos calcular f(u) + f(v) :
f(u) + f(v) = (x1 + 2y1,, 3x1 - 72y1) + (x2 + 2y2,, 3x2 - 72y2)
= (x1 + 2y1 + x2 + 2y2,, 3x1 - 72y1 + 3x2 - 72y2)
Observamos que f(u + v) = f(u) + f(v) , então a propriedade de aditividade está satisfeita.

Passo 4

Agora vamos verificar a propriedade da homogeneidade. Pegamos um vetor v = (x, y) e um escalar k . Então:
f(k cdot v) = f(kx, ky) = (kx + 2ky,, 3kx - 72ky) = (k(x + 2y),, k(3x - 72y))
Por outro lado:
k cdot f(v) = k cdot (x + 2y,, 3x - 72y) = (k(x + 2y),, k(3x - 72y))
Vemos que f(k cdot v) = k cdot f(v) , então a propriedade de homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Sim, a função f(x, y) = (x + 2y,, 3x - 72y) é uma transformação linear.

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