Determine se as seguintes funções são transformações lineares
i)
dada por
,
i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função
definida por
é uma transformação linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é dita linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
- Homogeneidade (ou Escalaridade):
para todo vetor e escalar . - Aditividade:
para todos os vetores e .
Se a função cumprir essas duas propriedades, então ela é uma transformação linear.
Passo 3
Vamos verificar a propriedade da aditividade. Pegamos dois vetores quaisquer
e
em
. Então:
Simplificando isso:
Agora, vamos calcular
:
Observamos que
, então a propriedade de aditividade está satisfeita.
Passo 4
Agora vamos verificar a propriedade da homogeneidade. Pegamos um vetor
e um escalar
. Então:
Por outro lado:
Vemos que
, então a propriedade de homogeneidade também está satisfeita.
Resposta
Sim, a função
é uma transformação linear.