Determine se as seguintes funções são transformações lineares
iv) k: P2(R) P3(R) dada por k(a x^2+b x+c)=a^3-c x+2 b,

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função k que mapeia polinômios de segundo grau com coeficientes reais, ou seja, elementos de P2(R) , para polinômios de terceiro grau, que pertencem a P3(R) . A função é definida por:
k(a x^2 + b x + c) = a^3 - c x + 2 b
O objetivo é determinar se essa função k é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função T entre dois espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades principais:
  1. Adição de vetores: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Multiplicação por escalar: T(cu) = cT(u)
Onde u e v são vetores no espaço de partida e c é um escalar.

Passo 3

Vamos verificar se a função k satisfaz essas duas propriedades.
Primeira propriedade (Adição):
Sejam dois polinômios p(x) = a x^2 + b x + c e q(x) = a' x^2 + b' x + c' em P2(R) .
Então, a soma deles é:
p(x) + q(x) = (a + a')x^2 + (b + b')x + (c + c')
Aplicando k na soma:
k(p(x) + q(x)) = k((a + a')x^2 + (b + b')x + (c + c')) = (a + a')^3 - (c + c')x + 2(b + b')
Agora, aplicando k individualmente e depois somando:
k(p(x)) + k(q(x)) = [a^3 - c x + 2 b] + [a'^3 - c' x + 2 b'] = a^3 + a'^3 - (c + c')x + 2(b + b')
Para que a primeira propriedade seja verdadeira, devemos ter:
(a + a')^3 = a^3 + a'^3
No entanto, sabemos que (a + a')^3 = a^3 + 3a^2a' + 3a a'^2 + a'^3 , que não é igual a a^3 + a'^3 a menos que a ou a' seja zero, o que não é garantido para todos os polinômios.

Passo 4

Como a primeira propriedade não é satisfeita em geral, já podemos concluir que k não é uma transformação linear. Não é necessário verificar a segunda propriedade, pois o não atendimento de uma delas é suficiente para afirmar que a função não é linear.

Resposta

A função k não é uma transformação linear.

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