Determine se as seguintes funções são transformações lineares
iv)
dada por
,
iv)
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função
que mapeia polinômios de segundo grau com coeficientes reais, ou seja, elementos de
, para polinômios de terceiro grau, que pertencem a
. A função é definida por:
O objetivo é determinar se essa função
é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
entre dois espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades principais:
- Adição de vetores:
- Multiplicação por escalar:
Onde
e
são vetores no espaço de partida e
é um escalar.
Passo 3
Vamos verificar se a função
satisfaz essas duas propriedades.
Primeira propriedade (Adição):
Sejam dois polinômios
e
em
.
Então, a soma deles é:
Aplicando
na soma:
Agora, aplicando
individualmente e depois somando:
Para que a primeira propriedade seja verdadeira, devemos ter:
No entanto, sabemos que
, que não é igual a
a menos que
ou
seja zero, o que não é garantido para todos os polinômios.
Passo 4
Como a primeira propriedade não é satisfeita em geral, já podemos concluir que
não é uma transformação linear. Não é necessário verificar a segunda propriedade, pois o não atendimento de uma delas é suficiente para afirmar que a função não é linear.
Resposta
A função
não é uma transformação linear.