Determine se as seguintes funções são transformações lineares
v) l: M(2,3) P2(R) dada por l([llla & b & c d & e & f])=(d-b) x^2+(2 c+a) x+(3 e-4 f),

Passo 1

O enunciado define uma aplicação

por
Queremos ver se é linear, ou seja, se ela satisfaz
  1. .

Passo 2

Sejam
[M_1=
Então
e
Distribuindo, isso fica
que é exatamente . Logo a adição é preservada.

Passo 3

Seja e
[M=
Então
e
Fatorando , obtemos
Assim, a multiplicação por escalar também é preservada.

Passo 4

Como vimos que ell(M1+M2)=ell(M1)+ell(M2) e ell(lambda M)=lambda,ell(M) para quaisquer matrizes M1,M2 e escalar lambda, concluímos que ell é de fato uma transformação linear.

Resposta

A aplicação ell é uma transformação linear.

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