Valor - 1,5 pontos. Determinar o valor de m para que seja de 45^circ o ângulo entre os planos
pi1=x+m y+2 z-7=0 e pi2=4 x+5 y+3 z-2=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de m de modo que o ângulo entre os planos
pi1: x + m,y + 2,z -7 = 0
e
pi2: 4,x + 5,y + 3,z -2 = 0
seja de 45^circ.
Conteúdo: cálculo do ângulo entre planos, que se baseia no produto escalar de seus vetores normais e nas normas desses vetores.

Passo 2

Identificamos os vetores normais dos planos:
n1 = (1,,m,,2), n2 = (4,,5,,3)

Passo 3

A fórmula do cosseno do ângulo theta entre planos é a mesma do ângulo entre vetores normais:
costheta = lvert n1!cdot n2rvert|n1|;|n2|
Queremos theta = 45^circ, ou seja cos45^circ = tfracraiz22.

Passo 4

Calculamos o produto escalar e as normas:
n1!cdot n2 = 1cdot 4 + mcdot 5 + 2cdot 3 = 5m + 10,
|n1| = raiz1^2 + m^2 + 2^2 = raizm^2 + 5, |n2| = raiz4^2 + 5^2 + 3^2 = raiz50 = 5raiz2
Substituindo na fórmula:
lvert 5m + 10rvertraizm^2 + 5,cdot 5raiz2 = raiz22

Passo 5

Isolando lvert 5m+10rvert:
lvert 5m + 10rvert = 5raiz2,raizm^2 + 5;times;raiz22 = 5,raizm^2 + 5
Elevando ao quadrado:
(5m + 10)^2 = 25,(m^2 + 5) Longrightarrow 25m^2 +100m +100 = 25m^2 +125 Longrightarrow 100m = 25 Longrightarrow m = tfrac14

Resposta

m = tfrac14

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