Determine quais das seguintes funções são transformações lineares (Justifique sua resposta):
f: \mathbb{P}_{2} \rightarrow \mathbb{P}_{3} tal que f\left(a x^{2}+b x+c\right)=a x^{3}+b x^{2}+c x

Passo 1

O enunciado dá a função
f\colon \mathbb{P}_{2}\to \mathbb{P}_{3}
definida por
f\bigl(a x^{2}+b x+c\bigr)=a x^{3}+b x^{2}+c x.
O conteúdo é transformações lineares entre espaços de polinômios. Para mostrar que f é linear, precisamos verificar duas propriedades:
  1. Adição: f(p+q)=f(p)+f(q).
  2. Homogeneidade: f(\lambda p)=\lambda f(p).

Passo 2

Sejam
p(x)=a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}, \quad q(x)=a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}.
Então
p(x)+q(x)=(a_{1}+a_{2})x^{2}+(b_{1}+b_{2})x+(c_{1}+c_{2}).
Aplicando f em p+q temos
f\bigl(p+q\bigr) =(a_{1}+a_{2})x^{3}+(b_{1}+b_{2})x^{2}+(c_{1}+c_{2})x.
Por outro lado,
f(p)+f(q) =\bigl(a_{1}x^{3}+b_{1}x^{2}+c_{1}x\bigr) +\bigl(a_{2}x^{3}+b_{2}x^{2}+c_{2}x\bigr) =(a_{1}+a_{2})x^{3}+(b_{1}+b_{2})x^{2}+(c_{1}+c_{2})x.
Logo
f(p+q)=f(p)+f(q).

Passo 3

Seja \lambda\in\mathbb{R}. Então
\lambda\,p(x)=\lambda a_{1}x^{2}+\lambda b_{1}x+\lambda c_{1},
e aplicando f
f\bigl(\lambda p\bigr) =(\lambda a_{1})x^{3}+(\lambda b_{1})x^{2}+(\lambda c_{1})x =\lambda\bigl(a_{1}x^{3}+b_{1}x^{2}+c_{1}x\bigr) =\lambda\,f(p).
Isso mostra a homogeneidade.

Resposta

A função f satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é transformação linear.

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