Mostre que as seguintes transformações T são lineares:
T: R^2 R^2 definida por T(x, y)=(3 x, 2 y).

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a transformação
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y) = (3x,2y)
é linear.
Para isso, vamos usar a definição de transformação linear, que exige duas propriedades para quaisquer vetores (x1,y1),(x2,y2)inR^2 e escalar alphainR:
  1. Aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v).
  2. Homogeneidade: T(alpha,u)=alpha,T(u).

Passo 2

Verificamos a aditividade. Seja u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2),
e aplicando T obtemos
T(u+v) = T(x1+x2,;y1+y2) = l(3(x1+x2),;2(y1+y2)r) = (3x1+3x2,;2y1+2y2)
Por outro lado,
T(u) + T(v) = (3x1,2y1) + (3x2,2y2) = (3x1+3x2,;2y1+2y2)
Logo
T(u+v) = T(u) + T(v)

Passo 3

Verificamos a homogeneidade. Seja alphainR e u=(x,y). Então
alpha,u = (alpha x,;alpha y),
e aplicando T obtemos
T(alpha,u) = T(alpha x,;alpha y) = l(3(alpha x),;2(alpha y)r) = (alphacdot 3x,;alphacdot 2y) = alpha,(3x,2y) = alpha,T(u)

Passo 4

Como T satisfaz tanto
T(u+v)=T(u)+T(v)
quanto
T(alpha,u)=alpha,T(u),
concluímos que T é de fato uma transformação linear de R^2 em R^2.

Resposta

A transformação T(x,y)=(3x,2y) é linear, pois satisfaz aditividade e homogeneidade conforme mostrado.

Exercícios relacionados