Mostre que as seguintes transformações
são lineares:
definida por
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a transformação
é linear.
Para isso, vamos usar a definição de transformação linear, que exige duas propriedades para quaisquer vetores e escalar
:
Para isso, vamos usar a definição de transformação linear, que exige duas propriedades para quaisquer vetores
- Aditividade:
. - Homogeneidade:
.
Passo 2
Verificamos a aditividade. Seja
e
. Então
e aplicando
obtemos
Por outro lado,
Logo
Passo 3
Verificamos a homogeneidade. Seja
e
. Então
e aplicando
obtemos
Passo 4
Como
satisfaz tanto
quanto
concluímos que
é de fato uma transformação linear de
em
.
Resposta
A transformação
é linear, pois satisfaz aditividade e homogeneidade conforme mostrado.