Quais das seguintes transformações T de R^2 em R^2 são lineares?
T(x, y)=(x-y, 0)

Passo 1

O enunciado define uma transformação
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y) = (,x - y,,0,)
e pede para verificar se T é linear. Lembrando que T é linear se, para quaisquer vetores (x1,y1),(x2,y2)inR^2 e escalar c, valem
T((x1,y1)+(x2,y2)) = T(x1,y1) + T(x2,y2) e Tl(c,(x,y)r) = c,T(x,y)

Passo 2

Verificando a aditividade, seja (x1,y1) e (x2,y2) em R^2. Então
(x1,y1)+(x2,y2) = (,x1+x2,;y1+y2,)
e
T(x1+x2,;y1+y2) = l((x1+x2)-(y1+y2),,0r) = l((x1-y1)+(x2-y2),,0r)
Por outro lado,
T(x1,y1) + T(x2,y2) = (,x1-y1,,0,) + (,x2-y2,,0,) = l((x1-y1)+(x2-y2),,0r)
Logo
T((x1,y1)+(x2,y2)) = T(x1,y1) + T(x2,y2)

Passo 3

Verificando a homogeneidade, seja cinR e (x,y)inR^2. Então
c,(x,y) = (,c,x,;c,y,) e T(c,x,c,y) = l(c,x - c,y,,0r) = c,(x - y,,0) = c,T(x,y)

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, conclui-se que T é uma transformação linear.

Resposta

T é linear.

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