Determine se as seguintes funções são transformações lineares
viii) p: R P4(R) dada por p(a)=a x^4-3 a x^2+2 a x-a.

Passo 1

O enunciado define a função
pcolon Rto P4(R), p(a)=a x^4-3a x^2+2a x - a
O conteúdo é transformação linear, então vamos verificar as duas propriedades: aditividade p(a+b)=p(a)+p(b) e homogeneidade p(c,a)=c,p(a).

Passo 2

Verificação da aditividade. Para quaisquer a,binR,
p(a+b)=(a+b)x^4-3(a+b)x^2+2(a+b)x-(a+b)
Expandindo,
p(a+b)=ax^4+bx^4-3ax^2-3bx^2+2ax+2bx - a - b
e isso se reagrupa em
(ax^4-3ax^2+2ax - a);+;(bx^4-3bx^2+2bx - b)=p(a)+p(b)

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Para qualquer c,ainR,
p(c,a)= (c,a)x^4-3(c,a)x^2+2(c,a)x-(c,a)
p(c,a)=cl(ax^4-3ax^2+2ax - ar)=c,p(a)

Resposta

Sim, p é uma transformação linear.

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