Sejam (R^+, oplus, odot) e (R,+, cdot) dois espaços vetoriais, onde:
u oplus v=u v, lambda odot u=u^lambda forall u, v in R^+, forall lambda in R
e a soma + e produto por um escalar • são os usuais em R.
Determine se as aplicações:
T: R^+ R, com T(x)=ln (x),

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você trouxe está relacionada a espaços vetoriais e transformações lineares. Temos dois espaços vetoriais:
  1. (R^+, oplus, odot) onde a operação de soma oplus é definida como multiplicação comum ( u oplus v = uv) e o produto por escalar odot é definido como potência ( lambda odot u = u^lambda).
  2. (R, +, cdot) que é o espaço vetorial dos números reais com as operações usuais de soma e multiplicação.
A transformação que precisamos analisar é T: R^+ R, definida por T(x) = ln(x). Nosso objetivo é determinar se essa transformação é linear, ou seja, se ela preserva as operações de soma e produto por escalar dos espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma transformação T entre dois espaços vetoriais é linear se, para todos os vetores u, v e para todo escalar lambda, as seguintes propriedades forem verdadeiras:
  1. Adição: T(u oplus v) = T(u) + T(v)
  2. Escalar: T(lambda odot u) = lambda T(u)
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação T(x) = ln(x).

Passo 3

Vamos começar verificando a propriedade da adição. Isso significa que devemos verificar se:
T(u oplus v) = T(u) + T(v)
Sabemos que u oplus v = uv. Então, substituindo:
T(u oplus v) = T(uv) = ln(uv)
E do outro lado:
T(u) + T(v) = ln(u) + ln(v)
Agora, vamos lembrar uma propriedade dos logaritmos: ln(uv) = ln(u) + ln(v). Portanto:
T(u oplus v) = ln(uv) = ln(u) + ln(v) = T(u) + T(v)
Então, a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a propriedade do escalar. Precisamos verificar se:
T(lambda odot u) = lambda T(u)
Sabemos que lambda odot u = u^lambda. Então, substituindo:
T(lambda odot u) = T(u^lambda) = ln(u^lambda)
E do outro lado:
lambda T(u) = lambda ln(u)
Vamos usar outra propriedade dos logaritmos: ln(u^lambda) = lambda ln(u). Portanto:
T(lambda odot u) = ln(u^lambda) = lambda ln(u) = lambda T(u)
Então, a propriedade do escalar também é satisfeita.

Resposta

Como ambas as propriedades de adição e escalar são satisfeitas pela transformação T(x) = ln(x), concluímos que T é uma transformação linear entre os espaços vetoriais (R^+, oplus, odot) e (R, +, cdot).

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