Sejam
e
dois espaços vetoriais, onde:
e a soma + e produto por um escalar • são os usuais em
.
Determine se as aplicações:
, com
,
Determine se as aplicações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que você trouxe está relacionada a espaços vetoriais e transformações lineares. Temos dois espaços vetoriais:
-
onde a operação de soma é definida como multiplicação comum ( ) e o produto por escalar é definido como potência ( ). -
que é o espaço vetorial dos números reais com as operações usuais de soma e multiplicação.
A transformação que precisamos analisar é
, definida por
. Nosso objetivo é determinar se essa transformação é linear, ou seja, se ela preserva as operações de soma e produto por escalar dos espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma transformação
entre dois espaços vetoriais é linear se, para todos os vetores
e para todo escalar
, as seguintes propriedades forem verdadeiras:
- Adição:
- Escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação
.
Passo 3
Vamos começar verificando a propriedade da adição. Isso significa que devemos verificar se:
Sabemos que
. Então, substituindo:
E do outro lado:
Agora, vamos lembrar uma propriedade dos logaritmos:
. Portanto:
Então, a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a propriedade do escalar. Precisamos verificar se:
Sabemos que
. Então, substituindo:
E do outro lado:
Vamos usar outra propriedade dos logaritmos:
. Portanto:
Então, a propriedade do escalar também é satisfeita.
Resposta
Como ambas as propriedades de adição e escalar são satisfeitas pela transformação
, concluímos que
é uma transformação linear entre os espaços vetoriais
e
.