Sejam v=(x1, y1, z1) e w=(x2, y2, z2) vetores em R^3. Verifique que
lang<= v, wrang<==x1 x22+y1 y23+z1 z25
é um produto interno em $\mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores
v=(x1,y1,z1) e w=(x2,y2,z2) em R^3 e define a aplicação
lang<= v,wrang<==x1x22+y1y23+z1z25
Precisamos verificar que isso satisfaz as três propriedades de um produto interno em R^3: simetria, bilinearidade e positividade definida.

Passo 2

Verificamos a simetria, ou seja, lang<= v,wrang<==lang<= w,vrang<=. Como cada termo é um produto real e a multiplicação em R é comutativa, temos
x1x22=x2x12, y1y23=y2y13, z1z25=z2z15,
logo
lang<= v,wrang<= =x1x22+y1y23+z1z25 =lang<= w,vrang<=

Passo 3

Verificamos a bilinearidade (linearidade em cada argumento). Seja u=(x'1,y'1,z'1) e a,binR. Então
lang<= a,v + b,u,;wrang<= =(a x1+b x'1)x22 +(a y1+b y'1)y23 +(a z1+b z'1)z25
Distribuindo em cada termo:
=;al(x1x22+y1y23+z1z25r) ;+;bl(x'1x22+y'1y23+z'1z25r) = a,lang<= v,wrang<= + b,lang<= u,wrang<=
De modo análogo mostra-se linearidade no segundo argumento.

Passo 4

Verificamos a positividade definida, isto é, lang<= v,vrang<=>0 sempre que vneq(0,0,0) e lang<= v,vrang<==0 só se v=(0,0,0). Calculamos
lang<= v,vrang<= =x1^22+y1^23+z1^25
Como 2,3,5>0, cada fração tfracx1^22,tfracy1^23,tfracz1^25 é não negativa e só é zero se a componente correspondente for zero. Logo a soma é estritamente positiva sempre que pelo menos uma das componentes x1,y1,z1 for não nula, e é zero exatamente quando x1=y1=z1=0.

Resposta

Como as três propriedades (simetria, bilinearidade e positividade definida) estão satisfeitas, lang<= v,wrang<==x1x22+y1y23+z1z25 é de fato um produto interno em R^3.

Exercícios relacionados