Sejam
e
vetores em
. Verifique que
é um produto interno em $\mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado nos dá dois vetores
e
em
e define a aplicação
Precisamos verificar que isso satisfaz as três propriedades de um produto interno em
: simetria, bilinearidade e positividade definida.
Passo 2
Verificamos a simetria, ou seja,
. Como cada termo é um produto real e a multiplicação em
é comutativa, temos
logo
Passo 3
Verificamos a bilinearidade (linearidade em cada argumento). Seja
e
. Então
Distribuindo em cada termo:
De modo análogo mostra-se linearidade no segundo argumento.
Passo 4
Verificamos a positividade definida, isto é,
sempre que
e
só se
. Calculamos
Como
, cada fração
é não negativa e só é zero se a componente correspondente for zero. Logo a soma é estritamente positiva sempre que pelo menos uma das componentes
for não nula, e é zero exatamente quando
.
Resposta
Como as três propriedades (simetria, bilinearidade e positividade definida) estão satisfeitas,
é de fato um produto interno em
.