Sejam v=(cos alpha, sen alpha) e w=(cos beta, sen beta) vetores em R^2. Verifique que
lang<= v, wrang<==cos (alpha-beta)
é um produto interno em $\mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em R^2 escritos em coordenadas polares como
v=(cosalpha,;sinalpha), w=(cosbeta,;sinbeta)
Queremos mostrar que
lang<= v,wrang<= ;=;cos(alpha-beta)
coincide com o produto interno usual em R^2 e, como esse produto interno é bilinear, simétrico e positivo–definido, logo lang<=,,,rang<= é de fato um produto interno.

Passo 2

Calculemos o produto interno usual (o “dot product”) de v e w:
vcdot w =;(cosalpha)(cosbeta);+;(sinalpha)(sinbeta)
Mas sabemos da identidade trigonométrica
cos(alpha-beta) =cosalphacosbeta+sinalphasinbeta
Portanto
vcdot w =cosalphacosbeta+sinalphasinbeta =cos(alpha-beta)

Passo 3

Como o produto interno usual em R^2, definido por
v cdot w = v1 w1 + v2 w2,
satisfaz as três propriedades de produto interno (bilinearidade em cada argumento, simetria e positividade estrita), concluímos que a fórmula
lang<= v, w rang<= = cos(alpha - beta)
é apenas outra forma de escrever esse mesmo produto interno. Logo, lang<=,,,rang<= é um produto interno em R^2.

Resposta

lang<= v,wrang<==cos(alpha-beta) coincide com o produto interno padrão v1w1+v2w2 em R^2, que é bilinear, simétrico e positivo–definido, portanto é um produto interno.

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