Sejam
e
vetores em
. Verifique que
é um produto interno em $\mathbb{R}^{2}.
Passo 1
O enunciado nos dá dois vetores em
escritos em coordenadas polares como
Queremos mostrar que
coincide com o produto interno usual em
e, como esse produto interno é bilinear, simétrico e positivo–definido, logo
é de fato um produto interno.
Passo 2
Calculemos o produto interno usual (o “dot product”) de
e
:
Mas sabemos da identidade trigonométrica
Portanto
Passo 3
Como o produto interno usual em
, definido por
satisfaz as três propriedades de produto interno (bilinearidade em cada argumento, simetria e positividade estrita), concluímos que a fórmula
é apenas outra forma de escrever esse mesmo produto interno. Logo,
é um produto interno em
.