Use uma substituição trigonométrica adequada para determinar as seguintes integrais
integral z^3raiz4 z^2+25 d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral z^3raiz4z^2+25,dz
usando substituição trigonométrica. Como aparece raiz4z^2+25, uma escolha natural é usar
z = 52tantheta,
pois assim 4z^2+25 se tornará proporcial a sec^2theta.

Passo 2

Fazendo
z = 52tantheta,
temos
dz = 52sec^2theta,dtheta, 4z^2+25 = 4l(52tanthetar)^2+25 =25tan^2theta+25 =25sec^2theta,
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raiz4z^2+25=5sectheta

Passo 3

Substituindo na integral original:
z^3 = l(52r)^3tan^3theta = 1258tan^3theta,
dz = 52sec^2theta,dtheta,
raiz4z^2+25=5sectheta
Assim
integral z^3raiz4z^2+25,dz = integral 1258tan^3theta;cdot;52sec^2theta,dtheta5sectheta = 12516integral tan^3theta,sectheta,dtheta

Passo 4

Use tan^3theta=tantheta(sec^2theta-1) e note que ddtheta(sectheta)=secthetatantheta.
integral tan^3theta,sectheta,dtheta = integral (sec^2theta-1)tantheta,sectheta,dtheta = integral l(sec^3thetatantheta - secthetatanthetar)dtheta
Fazendo u=sectheta, du=secthetatantheta,dtheta, obtemos
integral (sec^3thetatantheta - secthetatantheta),dtheta = integral (u^2-1),du = u^33-u + C = sec^3theta3-sectheta + C
Multiplicando pelo fator tfrac12516
12516l(sec^3theta3-secthetar) = 12548sec^3theta - 12516sectheta + C

Passo 5

Volta a z sabendo que sectheta=raiz4z^2+255. Então
sec^3theta =l(raiz4z^2+255r)^3 =(4z^2+25)^3/2125
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12548sec^3theta = (4z^2+25)^3/248, 12516sectheta = 2516raiz4z^2+25
Portanto a primitiva fica
boxed integral z^3raiz4z^2+25,dz = (4z^2+25)^3/248 - 2516raiz4z^2+25 + C

Resposta

(4z^2+25)^3/248 - 2516raiz4z^2+25 + C

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