Determine se a série dada converge ou diverge:
sumn=1^+infty raiz[n]n !

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^+inftyraiz[n]n!
O conteúdo aqui é análise de séries numéricas, em particular o teste da condição necessária para convergência (os termos devem tender a zero) e uso de estimativas assintóticas via a Fórmula de Stirling para avaliar o comportamento de raiz[n]n! quando ntoinfty.

Passo 2

Usamos a Fórmula de Stirling na forma assintótica
n!sim raiz2pi n,l(ner)^n
Tomando a raiz enésima de ambos os lados:
raiz[n]n! sim raiz[n]raiz2pi n;ne = ne,(2pi n)^12n
Como
limntoinfty(2pi n)^12n=1,
vemos que
raiz[n]n!sim ne Longrightarrow limntoinftyraiz[n]n!=+infty

Passo 3

A condição necessária para a convergência de uma série é que o termo geral tenda a zero. Aqui temos
limntoinftyraiz[n]n!=+inftyneq 0,
então a série diverge pelo teste da divergência (ou teste do termo geral).

Resposta

A série diverge.

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