Determine se a série dada converge ou diverge:
sumn=1^+infty 3n^2+n.

Passo 1

Você tem a série infinita sumn=1^infty 3n^2 + n. Isso cai no conteúdo de séries numéricas e testes de convergência. Vamos precisar usar decomposição em frações parciais (ou reconhecimento de série telescópica) para resolver.

Passo 2

Para decompor 3n^2 + n = 3n(n+1), escrevemos
3n(n+1) = An + Bn+1
Multiplicando ambos os lados por n(n+1) fica
3 = A(n+1) + Bn = (A+B)n + A
Igualando coeficientes em n e constantes, obtemos
A + B = 0, A = 3,
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A = 3, B = -3,
e portanto
3n(n+1) = 3l(1n - 1n+1r)

Passo 3

Agora, a soma parcial até N é
SN = sumn=1^N 3l(1n - 1n+1r)
Isso é uma série telescópica, onde quase tudo cancela:
SN = 3l((1 - tfrac12) + (tfrac12 - tfrac13) + cdots + (tfrac1N - tfrac1N+1)r) = 3l(1 - tfrac1N+1r)

Passo 4

Para decidir convergência, fazemos N to infty:
limNtoinfty SN = 3l(1 - 0r) = 3
Como o limite das somas parciais existe e é finito, a série converge (e, de fato, converge absolutamente, pois os termos são positivos e se comparam a uma p-série de p=2>1).

Resposta

A série converge e o seu valor (soma) é 3.

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