Determine se a série dada converge ou diverge:
.
Passo 1
Você tem a série infinita
. Isso cai no conteúdo de séries numéricas e testes de convergência. Vamos precisar usar decomposição em frações parciais (ou reconhecimento de série telescópica) para resolver.
Passo 2
Para decompor
, escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
fica
Igualando coeficientes em
e constantes, obtemos
logo
e portanto
Passo 3
Agora, a soma parcial até
é
Isso é uma série telescópica, onde quase tudo cancela:
Passo 4
Para decidir convergência, fazemos
:
Como o limite das somas parciais existe e é finito, a série converge (e, de fato, converge absolutamente, pois os termos são positivos e se comparam a uma
-série de
).
Resposta
A série converge e o seu valor (soma) é 3.