Determine se as seguintes integrais convergem ou divergem. Se a integral convergir determine seu valor.
Passo 1
E aí! Vamos resolver a integral
. O objetivo é descobrir se essa integral converge (ou seja, tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente de integrais impróprias, já que o limite superior é infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que estamos lidando com uma integral imprópria devido ao limite superior infinito. Para resolver, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito da integral de 2 a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a antiderivada da função
. Para isso, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar
, então
ou
. Substituindo na integral:
Passo 4
Integrando
, temos:
Substituindo de volta
:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração de 2 a
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, calculamos o limite quando
tende ao infinito:
À medida que
vai para o infinito,
tende a
, então
tende a 0. Portanto:
Resposta
A integral
converge e seu valor é
.