Determine se as seguintes integrais convergem ou divergem. Se a integral convergir determine seu valor.
integral2^infty 9(1-3 z)^4 d z

Passo 1

E aí! Vamos resolver a integral integral2^infty 9(1-3 z)^4 dz. O objetivo é descobrir se essa integral converge (ou seja, tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente de integrais impróprias, já que o limite superior é infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que estamos lidando com uma integral imprópria devido ao limite superior infinito. Para resolver, vamos calcular o limite quando b tende ao infinito da integral de 2 a b :
limb to infty integral2^b 9(1-3 z)^4 dz

Passo 3

Agora, vamos encontrar a antiderivada da função 9(1-3 z)^4. Para isso, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar u = 1 - 3z , então du/dz = -3 ou dz = -13 du . Substituindo na integral:
integral 9u^4 (-13) du = -3 integral u^-4 du

Passo 4

Integrando u^-4 , temos:
-3 ( u^-3-3 ) + C = u^-3 + C
Substituindo de volta u = 1 - 3z :
(1 - 3z)^-3 + C = 1(1 - 3z)^3 + C

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 2 a b :
[ 1(1 - 3z)^3 ]2^b = 1(1 - 3b)^3 - 1(1 - 6)^3 = 1(1 - 3b)^3 - 1(-5)^3
Simplificando:
1(1 - 3b)^3 + 1125

Passo 6

Agora, calculamos o limite quando b tende ao infinito:
limb to infty ( 1(1 - 3b)^3 + 1125 )
À medida que b vai para o infinito, 1 - 3b tende a -infty , então 1(1 - 3b)^3 tende a 0. Portanto:
0 + 1125 = 1125

Resposta

A integral integral2^infty 9(1-3 z)^4 dz converge e seu valor é 1125.

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