Determine se as seguintes integrais convergem ou divergem. Se a integral convergir determine seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a convergência e, em caso afirmativo, o valor da integral imprópria
O conteúdo envolve integrais impróprias de funções racionais, teste de convergência por comparação assintótica e uso de paridade.
Passo 2
Analisamos o comportamento em
. Para
grande,
Como
converge (é proporcional a
em infinito), nossa integral converge absolutamente nos extremos. Não há singulares no real, logo a integral impropria existe.
Passo 3
Observe que o integrando
é uma função ímpar, pois
, e o intervalo de integração é simétrico em torno de zero. Logo, pela propriedade
sempre que
for ímpar e a integral convergir, concluímos imediatamente
Passo 4
Para confirmar, podemos ainda encontrar uma antiderivada. Faça
, então
e
Ao avaliar de
a
e depois
, obtém-se zero, corroborando o passo anterior.
Resposta
A integral converge e vale