Determine se as seguintes integrais convergem ou divergem. Se a integral convergir determine seu valor.
integral-infty^infty 6 w^3(w^4+1)^2 d w

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência e, em caso afirmativo, o valor da integral imprópria
integral-infty^infty 6,w^3l(w^4+1r)^2,dw
O conteúdo envolve integrais impróprias de funções racionais, teste de convergência por comparação assintótica e uso de paridade.

Passo 2

Analisamos o comportamento em wtopminfty. Para |w| grande,
6,w^3(w^4+1)^2sim 6,w^3w^8=6w^5
Como integral1^infty w^-5,dw converge (é proporcional a w^-4 em infinito), nossa integral converge absolutamente nos extremos. Não há singulares no real, logo a integral impropria existe.

Passo 3

Observe que o integrando
f(w)=6,w^3(w^4+1)^2
é uma função ímpar, pois f(-w)=-f(w), e o intervalo de integração é simétrico em torno de zero. Logo, pela propriedade
integral-A^Af(w),dw = 0
sempre que f for ímpar e a integral convergir, concluímos imediatamente
integral-infty^infty6,w^3(w^4+1)^2,dw = 0

Passo 4

Para confirmar, podemos ainda encontrar uma antiderivada. Faça u=w^4+1, então du=4,w^3,dw e
integral 6,w^3(w^4+1)^2,dw = integral 64,duu^2 = 32integral u^-2,du = -32,1u+C = -32,(w^4+1)+C
Ao avaliar de -M a M e depois Mtoinfty, obtém-se zero, corroborando o passo anterior.

Resposta

A integral converge e vale
0

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