Determine se as seguintes integrais convergem ou divergem. Se a integral convergir determine seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente descobrir se a integral
converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular o valor dela. Para resolver isso, vamos usar um método de substituição que facilita a avaliação de integrais impróprias.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
. Isso nos ajudará a transformar a integral em algo mais manejável.
Passo 3
Com
, precisamos encontrar
em termos de
. Calculando a derivada:
Isso significa que podemos substituir
na integral original.
Passo 4
Também precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição:
- Quando
vai para , vai para (zero pela esquerda). - Quando
vai para , vai para .
Passo 5
Agora, substituindo tudo na integral original:
O
inverte os limites de integração, então:
Passo 6
Agora, a integral ficou simples:
Sabemos que a integral de
é
, então avaliamos entre os limites:
Resposta
A integral
converge e o seu valor é 1.