Determine se as seguintes integrais convergem ou divergem. Se a integral convergir determine seu valor.
integral-infty^0 e^1xx^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente descobrir se a integral integral-infty^0 e^1xx^2 dx converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular o valor dela. Para resolver isso, vamos usar um método de substituição que facilita a avaliação de integrais impróprias.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar t = 1x . Isso nos ajudará a transformar a integral em algo mais manejável.

Passo 3

Com t = 1x , precisamos encontrar dt em termos de dx . Calculando a derivada:
dt = -1x^2 dx Rightarrow dx = -x^2 dt = -1t^2 dt
Isso significa que podemos substituir dx na integral original.

Passo 4

Também precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição:
  • Quando x vai para -infty, t = 1x vai para 0^- (zero pela esquerda).
  • Quando x vai para 0 , t = 1x vai para -infty.

Passo 5

Agora, substituindo tudo na integral original:
integral-infty^0 e^1xx^2 dx = integral0^-^-infty e^t cdot t^2 cdot (-1t^2 dt) = -integral0^-^-infty e^t dt
O - inverte os limites de integração, então:
-integral0^-^-infty e^t dt = integral-infty^0 e^t dt

Passo 6

Agora, a integral ficou simples:
integral-infty^0 e^t dt
Sabemos que a integral de e^t é e^t , então avaliamos entre os limites:
[ e^t ]-infty^0 = e^0 - limt to -infty e^t = 1 - 0 = 1

Resposta

A integral integral-infty^0 e^1xx^2 dx converge e o seu valor é 1.

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