Determine se a série á absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n+1 1(2 n-1)!

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^n+11(2n-1)!
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo aqui é teste de convergência absoluta e, para isso, vamos analisar primeiro a série dos valores absolutos.

Passo 2

Formamos a série dos valores absolutos
sumn=1^inftyl|!(-1)^n+1tfrac1(2n-1)!r|;=;sumn=1^infty1(2n-1)!.
Para testar a convergência dessa série, usamos o critério da razão, que é bem eficaz quando aparecem fatoriais.

Passo 3

No critério da razão, calculamos
L=limntoinftyan+1an com an=1(2n-1)!
Então
an+1an =1(2(n+1)-1)!1(2n-1)! =(2n-1)!(2n+1)! =1(2n)(2n+1)
Como 1(2n)(2n+1)to0 quando ntoinfty, temos L=0, que é menor que 1.

Passo 4

Pelo critério da razão, L<1 implica que a série dos valores absolutos sum 1/(2n-1)! converge. Logo a série original é absolutamente convergente (toda série absolutamente convergente também converge de forma ordinária).

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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