Determine se a série á absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty 1raizn(raizn+1)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série de termos positivos
sumn=1^infty an com an = 1raizn,(raizn+1)
se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Como todos os an são positivos, basta estudar a convergência propriamente dita (não há “condicional” quando os termos não mudam de sinal).

Passo 2

Vamos usar o teste da comparação limite com a série harmônica
sumn=1^infty 1n,
que sabemos divergir. Para isso, considere
bn = 1n
e calcule
limntoinftyanbn = limntoinfty 1raizn(raizn+1) 1n = limntoinftynraizn(raizn+1) = limntoinftyraiznraizn+1 = 1

Passo 3

Como o limite da razão entre an e bn é um número finito e estritamente positivo, pelos critérios de comparação limite as duas séries têm o mesmo comportamento. A série harmônica sum 1/n diverge, logo
sumn=1^infty 1raizn(raizn+1)
também diverge.

Resposta

A série diverge, logo não é nem absolutamente convergente nem condicionalmente convergente.

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