Determine quais das seguintes integrais definidas convergem e quais divergem. Use o método de convergência que preferir.
(v) integral0^pi sen^2(theta)raiztheta d theta

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria de 0 a π de dfracsin^2(theta)raiztheta,dtheta. O conteúdo é teste de convergência de integrais impróprias no limite inferior, e vamos precisar usar comportamento de sin(theta) para thetato0 e o teste de comparação.

Passo 2

A função f(theta)=dfracsin^2(theta)raiztheta é contínua em (0,pi] e só pode apresentar problema em theta=0 porque raizthetato0. Então o ponto crítico é o limite inferior da integral.

Passo 3

Para ver se há convergência em torno de zero, usamos a expansão sin(theta)simtheta quando thetato0. Assim
sin^2(theta)raizthetasimtheta^2theta^1/2=theta^3/2

Passo 4

Como integral0^atheta^3/2,dtheta converge (pois o expoente 3/2>-1), pelo teste de comparação a integral dada também converge.

Passo 5

Não há mais singularidades em (0,pi], logo a integral é convergente.

Resposta

A integral integral0^pisin^2(theta)raiztheta,dtheta converge.

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