Determine quais das seguintes integrais definidas convergem e quais divergem. Use o método de convergência que preferir.
(v)
(v)
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria de 0 a π de
. O conteúdo é teste de convergência de integrais impróprias no limite inferior, e vamos precisar usar comportamento de
para
e o teste de comparação.
Passo 2
A função
é contínua em
e só pode apresentar problema em
porque
. Então o ponto crítico é o limite inferior da integral.
Passo 3
Para ver se há convergência em torno de zero, usamos a expansão
quando
. Assim
Passo 4
Como
converge (pois o expoente
), pelo teste de comparação a integral dada também converge.
Passo 5
Não há mais singularidades em
, logo a integral é convergente.
Resposta
A integral
converge.