Determine se as seguintes integrais impróprias convergem ou divergem e calcule o seus valores em casos de convergência:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral imprópria para resolver:
. Isso está dentro do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos verificar se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem valor finito) e, se convergir, calcular esse valor.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. Olhando para a função
, percebemos que no ponto
, o denominador se torna zero, o que faz a função tender ao infinito. Então, o intervalo
inclui um ponto problemático em
.
Passo 3
Como há uma descontinuidade em
, vamos dividir a integral em duas partes, uma de
a
e outra de
a
:
Isso nos ajuda a lidar com o comportamento da função perto de
.
Passo 4
Vamos resolver a primeira parte:
. Para integrar
, podemos usar a substituição
, então
. A integral fica:
Então, avaliando de
a
:
Agora, tomando o limite quando
se aproxima de
pela esquerda:
Isso significa que a primeira parte da integral diverge.
Passo 5
Como já uma das partes da integral diverge para o infinito, não precisamos calcular a segunda parte, porque se uma das integrais é infinita, a integral total também será infinita. Portanto, a integral imprópria
diverge.
Resposta
A integral imprópria
diverge.