Determine se as seguintes integrais impróprias convergem ou divergem e calcule o seus valores em casos de convergência: integral0^2 1(1-x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral imprópria para resolver: integral0^2 1(1-x)^2 , dx. Isso está dentro do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos verificar se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem valor finito) e, se convergir, calcular esse valor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. Olhando para a função 1(1-x)^2, percebemos que no ponto x = 1, o denominador se torna zero, o que faz a função tender ao infinito. Então, o intervalo [0, 2] inclui um ponto problemático em x = 1.

Passo 3

Como há uma descontinuidade em x = 1, vamos dividir a integral em duas partes, uma de 0 a 1 e outra de 1 a 2:
integral0^2 1(1-x)^2 , dx = lima to 1^- integral0^a 1(1-x)^2 , dx + limb to 1^+ integralb^2 1(1-x)^2 , dx
Isso nos ajuda a lidar com o comportamento da função perto de x = 1.

Passo 4

Vamos resolver a primeira parte: lima to 1^- integral0^a 1(1-x)^2 , dx. Para integrar 1(1-x)^2, podemos usar a substituição u = 1 - x, então du = -dx. A integral fica:
integral 1u^2 (-du) = -integral u^-2 , du = 1u + C = 11 - x + C
Então, avaliando de 0 a a:
[ 11 - x ]0^a = 11 - a - 11 - 0 = 11 - a - 1
Agora, tomando o limite quando a se aproxima de 1 pela esquerda:
lima to 1^- ( 11 - a - 1 ) = +infty
Isso significa que a primeira parte da integral diverge.

Passo 5

Como já uma das partes da integral diverge para o infinito, não precisamos calcular a segunda parte, porque se uma das integrais é infinita, a integral total também será infinita. Portanto, a integral imprópria integral0^2 1(1-x)^2 , dx diverge.

Resposta

A integral imprópria integral0^2 1(1-x)^2 , dx diverge.

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