Esboce e encontre a área da região R onde R é a região limitada entre os gráficos de:
(a) y=x^2 e y=x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região R limitada pelas curvas y=x^2 e y=x.
O conteúdo é “área entre curvas”: precisamos encontrar onde elas se interceptam, saber qual fica “por cima” no intervalo e então montar a integral da diferença.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos
x^2 = x
que dá
x^2-x=0Longrightarrow x(x-1)=0
Logo os pontos são x=0 e x=1. No eixo y, correspondem a (0,0) e (1,1).

Passo 3

Entre x=0 e x=1, a reta y=x está acima da parábola y=x^2. Assim a área de R é
integral0^1l(underbracexreta ;-;underbracex^2parábolar),dx, á

Passo 4

Vamos calcular a integral:
integral0^1l(x - x^2r),dx = [x^22 - x^33]0^1 = l(tfrac12 - tfrac13r) - (0) = 12 - 13 = 16,

Resposta

A área da região R é 16.

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